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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Magalhães e Lima - Noções de Probabilidade de Estatística - Ed: 6º - Capítulo 3.3 - Ex. 4

A aplicação de fundo anticorrosivo em chapas de aço de 1 m 2 é feita mecanicamente e pode produzir defeitos (pequenas bolhas na pintura), de acordo com uma variável aleatória de Poisson de parâmetro λ = 1   p o r   m 2 . Uma chapa é sorteada ao acaso para ser inspecionada, pergunta-se a probabilidade de:

  1. Encontrarmos pelo menos 1 defeito.
  2. No máximo 2 defeitos serem encontrados.
  3. Encontrarmos de 2 a 4 defeitos.
  4. Não mais de 1 defeito ser encontrado.

Passo 1

Nossa variável é X ~ P o ( 1 ) , lembrando que variáveis de Poisson obedecem:

P X = k = e - λ λ k k !

Passo 2

  1. Ele quer encontrar pelo menos 1 defeito, então eu quero 1 ou mais defeitos, logo P ( X ≥ 1 ) :

    2. P X ≥ 1 = P X = 1 + P X + 2 + …

    P X ≥ 1 = ∑ k = 1 ∞ e - 1 . 1 k k !  

    Adicionando o termo que falta para completar a série, dos dois lados da equação:

    P X ≥ 1 + e - 1 . 1 0 0 ! =   e - 1 . 1 0 0 ! + ∑ k = 1 ∞ e - 1 . 1 k k !  

    O lado direito se torna a soma infinita de 0 ≤ k < ∞ , e sabemos que vale 1, enquanto do lado esquerdo e - 1 . 1 0 0 ! = 0,368 :

    P X ≥ 1 + 0,368 = 1

    P X ≥ 1 = 1 - 0,368 = 0,632

    Passo 3

  2. No máximo dois defeitos, seriam 2 ou menos, logo queremos P X ≤ 2

    3. P X ≤ 2 = P X = 0 + P X = 1 + P X = 2

    P X ≤ 2 = 0,368 + 0,368 + 0,184

    P X ≤ 2 = 0,920

    Passo 4

    4. P 2 ≤ X ≤ 4 = P X = 2 + P X = 3 + P ( X = 4 )

    P 2 ≤ X ≤ 4 = 0,184 + 0,061 + 0,015 = 0,26

    Passo 5

  4. Não mais de 1 defeito, significa 1 ou menos defeitos, logo:

P X ≤ 1 = P X = 0 + P ( X = 1 )

P X ≤ 1 = 0,368 + 0,368 = 0,736

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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