Enunciado

Probabilidade e Estatística - Probabilidade, um curso moderno com aplicações, de Sheldon Ross- Ed: 8º - Capítulo 2.Problemas - Ex. 52

Um armário contém 10 pares de sapatos. Se 8 sapatos são selecionados aleatoriamente, qual é a probabilidade de

(a) nenhum par completo ser formado?

(b) ser formado exatamente 1 par completo?

Passo 1

Faala, pessoal estudioooso. Vamos pra mais uma.

a. Nessa aqui, vamos imaginar todos os pares de sapato em ordem, temos 10 pares, ou seja, 20 sapatos. S1S2/S3S4/S5S6/.../S19S20. Agora queremos selecionar 8 sapatos, de quantas formas podemos fazer isso (casos totais)? Ora, primeira escolha, 20 opções, segunda, 19, assim por diante, até escolhermos o oitavo. Temos então nossos casos totais.

Passo 2

Já nossos casos favoráveis, consistem na quantidade de retiradas que eu posso fazer escolhendo-se o primeiro sapato e eliminando-se a escolha do seu subsequente (par).

Assim, tenho 20 opções para a primeira escolha, já para a segunda tenho 18 e não 19, pois não posso escolher o seu par. Sendo assim, ficamos com.

Passo 3

Finalmente, nossa probabilidade é:

Passo 4

b. Bom, agora ele quer que dos oito sapatos retirados, temos exatamente um par completo.

Já que estamos falando da mesma situação, retirada de 8 sapatos num total de 20. Os casos totais são iguais ao do item anterior.

Passo 5

Já os casos favoráveis, vamos ter q pensar mais um pouco:

Vamos primeiro, observar o fato nós queremos exatamente um paz dentre os 8 sapatos, então temos, inicialmente, 10 opções de sapatos a escolher (qualquer um possui um par dentro do armário), então quando escolhemos um, na verdade retiramos dois na nossa conta, pois não podemos escolher o par dele... Se ligou aí??

depois de escolhido o sapato, teremos mais 18 sapatos a serem escolhidos e podemos escolher qualquer um contanto que não escolhamos o par dele. Sendo assim, faremos a combinação de 9, tomados 6 a 6. E finalmente vamos permutar ciclicamente os oito sapatos que escolhemos sabendo que lá dentro haverá sempre dois repetidos (formando o par). Permutação cíclica com dois elementos repetidos . Finalmente como podemos ter escolhido qualquer par pra ser o repetido temos que fazer logo de cara a escolha de qual o par, dentre os 10, q será repetido, o que multiplica nossa contabilidade por 10. Finalmente nossos casos favoráveis ficam: