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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Jay Devore, Probabilidade e estatística para engenharia e ciências- Ed: 6º - Capítulo 10.Exercícios Suplementares - Ex. 38

Um artigo publicado no periódico científico britânico Nature ("Sucrose Induction of Hepatic Hyperplasia in the Rat", 25 de agosto de 1972, p. 461) relata um experimento no qual cinco grupos compostos por seis ratos cada foram submetidos a uma dieta com diferentes carboidratos. Ao final do experimento, determinou-se o teor de DNA (mg/g do fígado) no fígado de cada rato, gerando os seguintes resultados:

Supondo ainda que x2 ij 183,4, os dados indicam que o teor de DNA médio real é influenciado pelo tipo de carboidrato na dieta? Faça uma tabela ANOVA e use um nível de significância de 0,05.

Passo 1

As hipóteses de interesse são

H 0 :   μ i = μ j ,   i ≠ j

Versus a hipótese alternativa

H a   : p e l o   m e n o s   u m a   d a s   μ   s ã o   d i f e r e n t e s

Onde μ i é verdadeira média do iº conteúdo do DNA i = 1,2 , 3,4 , 5 .

Com as informações fornecidas, a tabela a seguir foi construída. Será explicado como nas etapas a seguir.

Esta tabela resume tudo o que é necessário para realizar o teste F (ANOVA). Aqui está a explicação de como obter esses valores.

Note primeiro que

I = 5 ,   l i n h a s   -   t r a t a m e n t o s

E

J = 5 ,   a m o s t r a s   r a t o s d e   c a d a   t i p o

A tabela a seguir precisa ser preenchida com os valores correspondentes:

Graus de liberdade são

I - 1 = 5 - 1 = 4 ;

I J - 1 = 5 6 - 1 = 25 ;

I J - 1 = 5 ∙ 6 - 1 = 29

Denotado com

x i = ∑ j = 1 J x i j ;

x . .   =   ∑ i = 1 I ∑ j = 1 J x i j

A soma total dos quadrados (SST), a soma dos quadrados do tratamento (SSTr) e a soma dos quadrados do erro (SSE) são dadas por

Os quadrados médios são

M S T r = 1 I - 1 S S T r ;

M S E = 1 I J - 1 S S E

F é a razão dos dois quadrados médios

F = M S T r M S E

Calcule todos os valores um por um. Os valores de x i são

onde as médias do iº tratamento são dados no exercício

Passo 2

A grande soma x . . é

A grande média x - . . é

A soma total dos quadrados, usando a soma dos quadrados dada no exercício

∑ i = 1 I ∑ j = 1 J x 2 i j = 183.4

É

A soma dos quadrados do tratamento é

Identidade fundamental:

S S T = S S T r + S S e

A soma dos quadrados do erro é

S S E = S S T - S S T r = 3.62 - 0.93 = 2.69

Os quadrados médios podem ser calculados agora como

M S T r = 1 I - 1 S S T r = 1 4 0.93 = 0.233 ;

M S E = 1 I J - 1 S S E = 1 5 6 - 1 2.69 = 0.108

O valor da estatística F é

f = M S T r M S E = 0.233 0.108 = 2.16

A tabela ANOVA se torna

Passo 3

Quanto aos testes usuais, você pode tirar conclusões sobre a hipótese observando o valor crítico de F ou um valor de P. Lembre-se que as hipóteses de interesse são

H 0   :   μ i = μ j ,   i ≠ j

Versus a hipótese alternativa

H a   : p e l o   m e n o s   d u a s   d a s     μ   s ã o   d i f e r e n t e s

O valor P é a área à direita do valor f sob a curva F onde F tem distribuição de Fisher com graus de liberdade 4 e 25; portanto

P = P F > f = P F > 2.16 = 0.103

que foi calculado usando software (você pode estimá-lo usando a tabela no apêndice). Porque

P = 0.103 > 0.05 = α

não rejeite a hipótese nula em determinado nível de significância. Não há diferença estatisticamente significativa nas médias verdadeiras entre os cinco diferentes conteúdos de DNA.

Usando a tabela, você pode usar, por exemplo, valor F 0,05,4 , 25 para o qual a área sob a curva FF à direita de F 0,05,4 , 25 é 0,05. O valor é

F 0.05,4 , 25 = 2.76 > 2.16 = f

o que indica não rejeitar a hipótese nula no nível de significância 0.05.

Resposta

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