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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Jay Devore, Probabilidade e estatística para engenharia e ciências- Ed: 6º - Capítulo 4.Exercícios Suplementares - Ex. 105

A moda de uma distribuição contínua é o valor x* que maximiza f(x). a. Qual é a moda de uma distribuição normal com parâmetros e ? b. A distribuição uniforme com parâmetros A e B tem uma única moda? Por quê? c. Qual é a moda de uma distribuição exponencial com parâmetro ? (Desenhe uma ilustração.) d. Se X possui uma distribuição gama com parâmetros , e 1, determine a moda. [Sugestão: ln[ f(x)] será maximizada se, e somente se, f(x) o for, e é mais simples obter a derivada de ln[ f(x)].] e. Qual é a moda de uma distribuição qui quadrado com graus de liberdade?

Passo 1

Usaremos o seguinte:

A função f ( x ) , x ∈ R é uma função de densidade de probabilidade se satisfaz as próximas características:

  1. f x ≥ 0 ,   x   ∈ R
  2. ∫ - ∞ ∞ f x d x = 1

Seja X uma variável contínua com função densidade de probabilidade f ( x ) , x ∈ R . Então

  1. probabilidade de que a variável X seja menor que algum valor x ∈ R é

    2. F x = P   X   ≤ x

  2. esperança de X é:

E X =   ∫ - ∞ ∞ x f x d x

Seja a variável X descreva o tamanho de grão da matriz de Al para uma liga que consiste em 2 % de índio e tem distribuição normal com média μ = 96 e desvio padrão σ = 14 . A função de densidade de probabilidade para esta variável é:

f x = 1 2 π 14 e x - 96 2 2.14 2

  1. Agora precisamos calcular a probabilidade de que a variável X exceda 100. Temos o seguinte

    2. P X > 100 = P X - 96 14 > 100 - 96 14

    = P X * > 0.286

    = 1 - P X * < 0.286

    = 1 - ϕ 0.286

    = 1 - 0.612

    = 0.388

    A probabilidade desejada é 0.388 .

    Passo 2

  2. Agora precisamos calcular a probabilidade de que a variável X esteja entre 50 e 80. Temos o seguinte:

    3. P 50 < X < 80 = P 50 - 96 14 < X - 96 14 < 80 - 96 14

    = P - 3.286 < X * < - 1.143

    = P X * <   - 1.143 - P X * < 3.286

    = Φ - 1.143 - Φ - 3.286

    = 0.12655 - 0.00051

    = 0.12604

    A probabilidade de X estar entre 50 e 80 é 0.12604.

  3. Agora precisamos encontrar os valores a e b tais que 90% de todos os tamanhos de grão. Isso significa que 5% estarão abaixo do valor a e 5% estará acima do valor b, e.c. 95% estará abaixo do valor b. Temos a seguir

0.05 = P X < a

= P X - 96 14 < a - 96 14

= P X * < a - 96 14

a - 96 14 = Φ - 1 0.05

= - 1.645

a = - 1.645 ∙ 14 + 96

= 72.972

0.95 = P   X < b

= P X - 96 14 < b - 96 14

= P X * < b - 96 14

b - 96 14 = Φ - 1 0.95

= 1.645

a = 1.645 ∙ 14 + 96

= 119.028

Como podemos ver no cálculo acima, obtivemos que a é igual a 72.972 e b é igual a 119.028, então o intervalo desejado é ( 72.972 ,   119.028 )

Resposta

Respondemos a todas as perguntas nesta tarefa

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