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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Montgomery - Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros- Ed: 4º - Capítulo 8.Exercícios - Ex. 19

Um artigo em do you know of agricultural science. “ The use of residual maximum likelihood to model grain quality characteristics of wheat with variety, climatic and nitrogen fertilizer effects“ – “ uso da máxima verossimilhança residual para modelar as características de qualidade do grão de trigo, com efeitos da variedade, do clima e do fertilizante de nitrogênio“(1997, Vol. 128, pp. 135-142) investigou médias do teor de proteína Do Grand cru de trigo “CP) e o número de queda de Hagberg (HFN) pesquisados no reino Unido. Analise usou uma variedade de aplicação de fertilizantes de nitrogênio (Kg newton por hectare), temperatura (graus Celsius) e a quantidade mensal total de chuva (milímetro). Os dados mostrados a seguir descrevem temperaturas para o trigo crescido na faculdade de agricultura Harper Adams, entre 1982 e 1993. As temperaturas medidas em junho foram obtidas como se segue:

Considere que o desvio padrão seja conhecido, sigma igual a 0.5.

  1. construa um intervalo bilateral de confiança de 99% para a temperatura média.
  2. Construa um intervalo bilateral de confiança 95% para temperatura média.
  3. Suponha que quiséssemos estar 95% confiantes de que o erro não estimação da temperatura média fosse menor do que 2 °C. Que tamanho da amostra deveria ser usado?
  4. Suponha que quiséssemos estar 95% confiante de que a largura total do intervalo bilateral de confiança para a temperatura média fosse 1,5 °C. Que tamanho da amostra deveria ser usado

Passo 1

Vamos lá pessoal, se liga aqui como que resolve essa questão:

Se  x _   é a média da amostra com tamanho n de uma variável aleatória de uma população normal com uma variância de σ 2 , e um IC de 100 ( 1 - α ) % onde μ é dado por:

x _ - z α 2 σ n ≤ μ ≤ x _ + z α 2 σ n

Onde   z α 2 é o ponto percentual superior de 100 α 2 da distribuição normal padrão.

Sabemos que o desvio padrão é σ = 0.5 , e o tamanho da amostra é n = 11 e

x - = 15.2 + 14.2 + 14.0 + 12.2 + 14.4 + 12.5 + 14.3 + 14.2 + 13.5 + 11.8 + 15.2 11 = 13.773 .

Passo 2

Letra a:

Temos um IC de 99%. Portanto,

α = 1 - 0.99 = 0.01 ⇒ z α 2 = 2.57

Disso, temos:

13.773 - z 0.005 0.5 11 ≤ μ ≤ 13.773 + z 0.005 0.5 11 13.773 - 2.57 × 0.15 ≤ μ ≤ 13.773 + 2.57 × 0.15

Portanto, IC 99% para μ   é

13.38 ≤ μ ≤ 14.16

Passo 3

Letra b:

Um limite de 95% de confiança inferior para μ   é dado por

x - - z α σ n ≤ μ

Então,

α = 1 - 0.95 , ⇒ z α = 1.64

Agora, dessa equação anterior, obtemos

13.773 - 1.64 0.5 11 ≤ μ 13.773 - 1.64 × 0.15 ≤ μ

Um limite de confiança 95% inferior para μ é:

13.526 ≤ μ

Passo 4

Letra c:

Suponha que quiséssemos ter 95% de confiança de que o erro na estimativa da temperatura média seja inferior a 2 graus Celsius. Portanto, E = 2 e

Se x ̄   for usado como uma estimativa de μ , podemos ter 95% de confiança de que o erro | x ̄ - μ | não excederá uma quantidade especificada E quando o tamanho da amostra é:

n = z α 2 σ E 2

Note que 2E é o comprimento do intervalo de confiança resultante. Portanto, dessa equação obtemos

n = 1.96 × 0.5 2 2 = 0.2401

e como n deve ser um número inteiro, o tamanho da amostra necessário é:

n = 1

Passo 5

Letra d:

Suponha que você queria a largura total do intervalo de confiança bilateral na temperatura média de 1.5 graus Celsius com 95% de confiança. Como o limite do erro na estimativa E é a metade do comprimento do IC,

E = 1.5 2 = 0.75

E

α = 1 - 0.95 = 0.05 ⇒ z α 2 = 1.96

Temos então,

n = 1.96 × 0.5 0.75 2 = 1.707

e como n deve ser um número inteiro, o tamanho da amostra necessário é

n = 2

Resposta

  1. 13.38 ≤ μ ≤ 14.16
  2. 13.526 ≤ μ
  3. n=1
  4. n=2
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