Exercícios de Intervalo de Confiança para Média com σ Desconhecido - Lista de Exercícios Resolvida

Um revista publicou um artigo que descreve várias caracterésticas de bastões combustíveis usados em um reator pertencente a uma usina nuclear. Medidas da porcentagem de enriquecimento de 12 bastões foram reportados como segue:

Encontre um intervalo de confiança de 99% para o percentual médio de enriquecimento. Você concorda com a afirmação de que o percentual médio de enriquecimento é de 2,95%? Por quê?

Um procedimento químico utilizado por uma indústria gera em média de cloreto de sódio como produto final de uma reação. A quantidade de cloreto obtida a cada vez apresenta um comportamento aleatório , onde A partir de repetições do mesmo procedimento, obteve-se em média de cloreto.

1. Calcule o intervalo de confiança de para . Interprete o resultado.
2. Considere que a indústria modificou o procedimento anterior e agora a variância da quantidade de cloreto produzida não é mais conhecida. Com uma amostra de repetições desse novo procedimento, obteve-se média e desvio padrão amostrais respectivamente iguais a e . Obtenha o intervalo de confiança de para o que o novo procedimento é capaz de produzir.
3. Com base nos itens anteriores, você acredita que o novo procedimento seja capaz de produzir, em média, uma quantidade de cloreto de sódio diferente da que era obtida anteriormente? Qual é o nível de confiança associado à sua conclusão? (Suponha que as seleções de amostra relativas aos dois procedimentos químicos tenham sido realizadas independentemente uma da outra).

Sabe-se que a altura dos indivíduos de uma certa população é Normalmente distribuída. Em uma amostra aleatória de tamanho 16, obteve-se o seguinte intervalo de 95% de confiança para a altura média populacional (em ).

1. Forneça estimativas pontuais para a altura média e para o desvio padrão da altura.
2. Qual seria o novo intervalo se a confiança exigida fosse 99%?
3. Qual deveria ser o tamanho de uma nova amostra para que o novo intervalo tivesse a mesma amplitude do intervalo anterior, porém agora com 99% de confiança, supondo que o desvio padrão populacional seja igual a ?

Dez mensurações são feitas para a resistência de um certo tipo de fio, fornecendo os valores . Suponha-se que ohms e ohms. Vamos supor que tenha distribuição e que desejemos obter um intervalo de confiança para , com coeficiente de confiança .

Utilizando uma amostra aleatória com , foram obtidos os seguintes valores para a média e variância amostrais:

Para esse caso, construa um intervalo de confiança de nível de confiança 90% para a média populacional, .

Uma amostra aleatória de tamanho 16 de uma população normal com média µ e variância σ² resultou em e . Construa um intervalo de confiança de 95% para média populacional µ se a variância populacional

a) ;

b) não é conhecida.

Deseja-se estimar a concentração de uma determinada substância indesejada em uma amostra de um produto químico.Devido a imprecisões do aparelho utilizado, que induzem erros de medição supostos normalmente distribuídos, são realizadas diversas repetições do experimento, implicando na obtenção das medidas:

expressas na unidade de ppm (partes por milhão). A fim de concatenar tais estimativas em somente uma, mais precisa, o pesquisador considera a média amostral como uma estimativa da concentração da substância indesejada, e para estudar a qualidade da estimação ele considera intervalos de confiança. Para isso, faça o que se pede abaixo:

(a) Construa um intervalo de confiança de 95% para a média amostral supondo que , ou seja, a incerteza introduzida pelo equipamento é conhecida.

Suponha que um professor do curso de engenharia, com objetivo de estudar o tempo, em anos, que os alunos levam para concluírem o curso, selecionou aleatoriamente ex-alunos. Nessa amostra observou-se que a soma dos tempo gastos até a conclusão do curso foi de anos e que a variância amostral teve valor anos². Resolva os itens abaixo:

1. Determine o intervalo de de confiança para a média do tempo que os alunos do curso de engenharia levam até concluírem o curso.
2. Suponha que o professor resolvesse construir um intervalo de de confiança para essa média, mas com a mesma amplitude do intervalo obtido no item (a). Obtenha um valor aproximado para o novo tamanho amostral que seria necessário para construir tal intervalo.

Um procedimento químico utilizado por uma indústria gera em média de cloreto de sódio como produto final de uma reação. A quantidade de cloreto obtida a cada vez apresenta um comportamento aleatório , onde A partir de repetições do mesmo procedimento, obteve-se em média de cloreto.

1. Calcule o intervalo de confiança de para . Interprete o resultado.
2. Considere que a indústria modificou o procedimento anterior e agora a variância da quantidade de cloreto produzida não é mais conhecida. Com uma amostra de repetições desse novo procedimento, obteve-se média e desvio padrão amostrais respectivamente iguais a e . Obtenha o intervalo de confiança de para o que o novo procedimento é capaz de produzir.
3. Com base nos itens anteriores, você acredita que o novo procedimento seja capaz de produzir, em média, uma quantidade de cloreto de sódio diferente da que era obtida anteriormente? Qual é o nível de confiança associado à sua conclusão? (Suponha que as seleções de amostra relativas aos dois procedimentos químicos tenham sido realizadas independentemente uma da outra).

Numa indústria foi colhida uma amostra de peças cilíndricas, as quais depois de examinadas apresentaram os seguintes diâmetros (em cm).

Informamos também que ; .

(a) Construir um intervalo de confiança (IC) para o diâmetro médio populacional ao nível de

Você é dono de uma empresa construtora e seleciona aleatoriamente 25 casas construídas recentemente. A média amostral do custo de construção é de $181.000 e do desvio padrão amostral é de $28.000. Assumindo que os custos com a construção são normalmente distribuídos, você deve:

1. Usar a distribuição normal, a distribuição t de student ou nenhuma delas para construir o intervalo de confiança de 95% para a média populacional dos custos de construção? Explique o raciocínio.
2. Construir o IC para média populacional dos custos de construção ao nível de confiança de 90%. Detalhe os passos da construção do IC.

Sabe-se que a altura dos indivíduos de uma certa população é Normalmente distribuída. Em uma amostra aleatória de tamanho 16, obteve-se o seguinte intervalo de 95% de confiança para a altura média populacional (em ).

1. Forneça estimativas pontuais para a altura média e para o desvio padrão da altura.
2. Qual seria o novo intervalo se a confiança exigida fosse 99%?
3. Qual deveria ser o tamanho de uma nova amostra para que o novo intervalo tivesse a mesma amplitude do intervalo anterior, porém agora com 99% de confiança, supondo que o desvio padrão populacional seja igual a ?

Suponhamos que se queira estimar, usando intervalo de confiança, o tempo médio que

leva o princípio ativo de um remédio para chegar à corrente sanguínea de um paciente

desde o momento que ele é ingerido.

(b) Suponha agora que somente 25 medidas de estão disponíveis e obteve-se:

Se for possível dizer que é normalmente distribuída, obtenha um intervalo de confiança

de 95% para a média sem fazer nenhuma suposição sobre o valor da variância de .

A força de compressão do concreto está sendo testada por um engenheiro civil. Ele testa corpos de prova e obtém os seguintes dados:

1. Construa um intervalo de de confiança para a força média.
2. Construa um intervalo de de confiança para a força média, supondo que .

Seja uma variável aleatória contínua que segue uma Normal com média e variância , ambas desconhecidas.

Seja , uma amostra aleatória de tamanho desta população:

Pede-se:

1. O intervalo de confiança ao nível de significância de e , para a .

Qual a diferença entre as densidade Normal e . Em que situação elas ficam aproximadamente iguais?

Seja uma variável aleatória contínua que segue uma Normal com média e variância , ambas desconhecidas. Toma-se um amostra de tamanho igual a de uma determinada população, com média igual a e variância igual a .

Pede-se:

b) O intervalo de confiança de para a média da normal desta população.

Qual a diferença entre as densidade Normal e . Em que situação elas ficam aproximadamente iguais?

A resistência à compressão de um tipo de concreto está sendo estimada por um Engenheiro Civil. Ele testa cinco corpos de prova e obtém os seguintes dados:

Construa um intervalo de confiança de para a resistência média.

Sabe-se que os tempos de falha, , de um componente eletrônico seguem uma Distribuição Normal. Uma amostra aleatória de dez componentes resultou nos seguintes tempos de falha (em horas):

Determine um intervalo de de confiança para o tempo médio de falha da população de componentes eletrônicos.

Seja uma variável aleatória contínua que segue uma Normal com média “” e variância “”, ambas desconhecidas.

Seja , uma amostra aleatória de tamanho desta população.

Pede-se:

1. O intervalo de confiança ao nível de significância de para a média.

Uma amostra de medidores de participação de manganês numa liga de ferro-manganês apresentou uma média de e desvio padrão de . Assumindo que a participação nominal da média na liga é de .

Pede-se:

b) Aumentou-se a amostra para medidores e apresentou como resultados: média de e desvio padrão de .

Pergunta-se: qual é o intervalo de confiança ao nível de significância de , para a Média.

Seja uma variável aleatória contínua que segue uma distribuição normal com média e variância , ambas desconhecidas. Seja , uma amostra de tamanho desta população. Pede-se que:

a) Calcule o intervalo de confiança ao nível de para a média. Deduzir detalhando todos os passos necessários para a construção do Intervalo de confiança – IC.

b) Calcule o intervalo de confiança ao nível de significância de para “Variância”. Deduzir detalhando todos os passos necessários para a construção do Intervalo de confiança – IC.

Observação: cálculos com 4 casas decimais.

Um fabricante de relógios deseja conhecer a variabilidade do seu produto. Para isso registrou os desvios em segundos de 24 relógios, relativamente a um relógio de alta precisão ocorridos ao fim de um mês e obteve como resultado: média de 0,8 segundos e desvio padrão de 1,5 segundo.

b) Pelos dados do fabricante, qual é o intervalo de confiança para a média dos desvios, considerando um nível de significância de 5%.

b) um comprador questionou que o desvio padrão fosse os especificaos. Ele fez uma coleta de outra amostra, dessa feita de peças somente que forneceu as estimativas da média e do desvio padrão amostrais de e , respectivamente. Calcule o novo intervalo de confiança para o diâmetro médio ao mesmo nível de confiança .

Um fabricante de baterias para automóveis afirma que a duração de suas baterias é em média de anos, as quais tem uma distribuição normal com um desvio padrão igual a anos.Um auditor pega uma amostra de 10 baterias e obteve um desvio padrão de 1,2 anos.

b) Com base nos dados do fabricante e considerando que a média do auditor coincidiu com a do fabricante, qual é o intervalo de confiança para a média se considerarmos um nível de confiança de 99%?

Suponhamos que se queira estimar, usando intervalo de confiança, o tempo médio que

leva o princípio ativo de um remédio para chegar à corrente sanguínea de um paciente

desde o momento que ele é ingerido.

1. Suponha inicialmente que a distribuição de é desconhecida e obtenha um intervalo de confiança de 95% para a média. Suponha que 80 medidas deste tempo , em segundos, foram feitas e obteve-se:

Use como valor da variância, o obtido pelo cálculo de .

Deseja-se estimar a concentração de uma determinada substância indesejada em uma amostra de um produto químico.Devido a imprecisões do aparelho utilizado, que induzem erros de medição supostos normalmente distribuídos, são realizadas diversas repetições do experimento, implicando na obtenção das medidas:

expressas na unidade de ppm (partes por milhão). A fim de concatenar tais estimativas em somente uma, mais precisa, o pesquisador considera a média amostral como uma estimativa da concentração da substância indesejada, e para estudar a qualidade da estimação ele considera intervalos de confiança. Para isso, faça o que se pede abaixo:

(b) Construa um intervalo de confiança de 95% para a média amostral, agora supondo σ desconhecido, ou seja, no caso em que a incerteza introduzida pelo equipamento de medição é desconhecida.

Um disparador de partículas realiza o lançamento de partículas idênticas e o tempo com que essas partículas percorrem uma certa distância é normalmente distribuído com média e variância desconhecidas. Com objetivo de estudar propriedades desse disparador, foram lançadas partículas e computado o tempo, em segundos, que cada uma delas levou para percorrer uma distância . Esses dados seguem abaixo:

Denotando por as medições acima, temos: e .

1. Construa um intervalo de de confiança para o tempo médio com que as partículas lançadas percorrem essa distância . Interprete o significado do intervalo obtido.

Obs.: Note que é possível relacionar quartis com proporções.