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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Jay Devore, Probabilidade e estatística para engenharia e ciências- Ed: 6º - Capítulo 4.Exercícios - Ex. 79

79. Assuma que X tenha densidade beta-padrão com parâmetros α e β .

a. Demonstre a fórmula de E(X) fornecida na seção.

b. Calcule E[(1 - X)m]. Se X representa a proporção de uma substância formada por um determinado ingrediente, qual é a proporção esperada que não é formada por ele?

Passo 1

Fala galerinha boa! Tudo bem com vocês? Vamos fazer mais um exercício.

Na letra a, a demonstração de E(X) será:

E X = ∫ 0 1 x Γ ( α + β ) Γ ( α ) Γ ( β ) x α - 1 ( 1 - x ) β - 1 d x = Γ ( α + β ) Γ ( α ) Γ ( β ) ∫ 0 1 x α ( 1 - x ) β - 1 d x

Γ ( α + β ) Γ ( α ) Γ ( β ) * Γ α + 1 Γ β Γ α + 1 + β = α Γ α Γ α Γ β * Γ α + β α + β Γ α + β = α α + β

Passo 2

Na letra b:

E 1   -   X m = ∫ 0 1 1   -   X m Γ α + β Γ α Γ β x α - 1 1 - x β - 1 d x

E [ ( 1   -   X ) m ] = Γ ( α + β ) Γ ( α ) Γ ( β ) ∫ 0 1 x α - 1 ( 1 - x ) m + β - 1 d x

E [ ( 1   -   X ) m ] = Γ ( α + β ) Γ ( m + β ) Γ ( α + β + m ) Γ ( β )

Para m = 1:

E 1   -   X m = E 1   -   X = β α + β

Até a próxima, pessoal!

Resposta

Demonstração nos passos 1 e 2.

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