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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Jay Devore, Probabilidade e estatística para engenharia e ciências- Ed: 6º - Capítulo 4.Exercícios - Ex. 80

80. É aplicada uma força em uma barra de aço de 20 pol. presa nas duas extremidades. Seja Y = distância da quebra da barra em relação à extremidade esquerda. Suponha que Y/20 possui uma distribuição beta com E(Y) = 10 e V(Y) = 100/7.

a. Quais são os parâmetros da distribuição beta-padrão correspondente?

b. Calcule P(8 ≤ Y ≤ 12).

c. Calcule a probabilidade de a barra quebrar a mais de 2 pol. de onde você espera.

Passo 1

Fala galerinha boa! Tudo bem com vocês? Vamos fazer mais um exercício.

Na letra a queremos os parâmetros da distribuição beta-padrão correspondente, ou seja, α e β . Temos que a média é 10 e a variância é 100/7. Logo:

E Y = 10 ,     e n t ã o             E Y 20 = 1 2 = α α + β

V Y = 10 0 7 ,     e n t ã o                 V Y 20 = 1 00 2 800 = 1 28 = α β ( α + β ) ² ( α + β + 1 )

Resolvendo o sistema acima entramos α = 3 e β = 3 .

Passo 2

Na letra b, queremos a probabilidade entre 8 e 12:

P 8 ≤ X ≤ 12 = F 12 20 ; 3,3 - F 8 20 ; 3,3 = F 0,6 ; 3,3 - F 0,4 ; 3,3

A função de densidade padrão aqui é 30y2(1 - y)2, então:

P 8 ≤ X ≤ 12 = ∫ 0,4 0,6 30 y ² ( 1 - y ) ² d y = 0,365

Passo 3

Na letra c, esperamos que ele estale em 10, então P( Y 12):

P   Y   <   8   o u   Y   >   12 = =   1   -   P 8   ≤   X ≤   12 = 1 - 0,365 = 0,665  

Até a próxima, pessoal!

Resposta

  1. α = 3 e β = 3 .
  2. 0,365
  3. 0,665

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