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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Probabilidade, um curso moderno com aplicações, de Sheldon Ross- Ed: 8º - Capítulo 3.Problemas - Ex. 62

Bárbara e Diana vão praticar tiro ao alvo. Suponha que cada um dos tiros de Bárbara acerte o pato de madeira utilizado como alvo com probabilidade p, enquanto cada tiro de Diana o acerte com probabilidade p. Suponha que elas atirem simultaneamente no mesmo alvo. Se o pato de madeira é derrubado (indicando que foi acertado), qual é a probabilidade de que

(a) ambos os tiros tenham acertado o pato?

(b) o tiro de Bárbara tenha acertado o pato?

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Vamos lá, primeiro identificar os eventos, que são exatamente os seguintes:

B - B á r b a r a   a c e r t a   o   p a t o   d e   m a d e i r a

D - D i a n a   a c e r t a   o   p a t o   d e   m a d e i r a

H - O   p a t o   é   a t i n g i d o

Agora, vamos passar para as probabilidades, que são relacionadas aos eventos B e D, com isso, nós temos que

P B = p 1

P D = p 2

Como ambas atiram no pato ao mesmo tempo, e seus acertos são independentes, as probabilidades, consequentemente, são independentes. Agora, vamos responder as questões!!

Passo 2

A – A probabilidade pedida aqui é que ambos os tiros tenham acertado o pato, ou seja, temos a seguinte probabilidade

P ( B D | H )

Como essa é uma probabilidade condicional, temos que utilizar a fórmula da probabilidade condicional

P B D H = P B D H P H = P H B D P ( B D ) P H

Se B ou D acontecer, H vai acontecer, além disso, a probabilidade H é igual a B ∪ D . Disso, tiramos duas informações

P H B D = 1

E

P H = P B ∪ D = P B + P D - P ( B D )

Como os eventos B e D são eventos independentes, nós temos que:

P B D = P B P D = p 1 ∙ p 2

E consequentemente

P H = p 1 + p 2 - p 1 ∙ p 2

Agora a fórmula inicial produz

P B D H = 1 ∙ p 1 p 2 p 1 + p 2 - p 1 p 2

Com isso, nós temos que

P B D H = p 1 p 2 p 1 + p 2 - p 1 p 2

Passo 3

B – Já na letra b, queremos saber a probabilidade de Bárbara ter acertado o tiro, logo, traduzindo isso

P ( B | H )

Como tem condição de novo, vamos usar novamente a probabilidade condicional, que tem a seguinte fórmula

P B H = P B H P H = P H B P B P ( H )

Como se B ocorre, então o pato é atingido - H ocorre, com isso, nós temos

P H B = 1

E da parte da letra a, nós temos a seguinte relação

P H = P B ∪ D = p 1 + p 2 - p 1 p 2

Portanto

P B H = 1 ∙ p 1 p 1 + p 2 - p 1 p 2

Com isso, temos o seguinte resultado

P B H = p 1 p 1 + p 2 - p 1 p 2

Resposta

a )   P B D H = p 1 p 2 p 1 + p 2 - p 1 p 2

b )   P B H = p 1 p 1 + p 2 - p 1 p 2

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