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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Jay Devore, Probabilidade e estatística para engenharia e ciências- Ed: 6º - Capítulo 4.Exercícios Suplementares - Ex. 93

93. Uma barra de 12 pol. fixa nas duas extremidades será submetida a uma tensão crescente até sua ruptura. Seja Y = distância da ruptura da barra em relação à extremidade esquerda. Suponha que Y tenha fdp

f y = 1 24 y 1 - y 12   0 ≤ y ≤ 12 0   c a s o   c o n t r á r i o

Calcule os dados a seguir:

a. A fdc de Y, e faça o gráfico.

b. P(Y ≤ 4), P(Y > 6), e P(4 ≤ Y ≤ 6)

c. E(Y), E(Y²) e V(Y)

d. A probabilidade de o ponto de ruptura ocorrer a mais de 2 pol. do ponto de ruptura esperado.

e. O comprimento esperado do menor segmento após a ruptura.

Passo 1

Fala galerinha boa! Tudo bem com vocês? Vamos fazer mais um exercício.

Na letra a, queremos a fdc de y:

P a r a   0   ≤   y   ≤   12 ,     F y = 1 24 ∫ 0 y u - u 2 12 d u = 1 48 y 2 - y 3 18

Nos outros casos, F(y) = 0 para y 12.

Passo 2

Na letra b, queremos a probabilidade menor ou igual a 4, a probabilidade maior que 6, e a probabilidade entre 4 e 6:

P(Y ≤   4) = F(4) = 0,259

P(Y > 6) = 1 – F(6) = 0,5

P(4 ≤   X ≤   6) = F(6) – F(4) = 0,5 – 0,259 = 0,241

Passo 3

Na letra c:

E Y = 1 2 4 ∫ 0 12 y ² 1 - y 12 d y = 6

E Y ² = 1 24 ∫ 0 12 y ³ 1 - y 12 d y = 43,2

V Y = 43,2 - ( 6 ) ² = 7,2

Passo 4

Na letra d, queremos a probabilidade de o ponto de ruptura ocorrer a mais de 2 pol. do ponto de ruptura esperado:

P(Y 8) = 1 - P(4 ≤ X ≤ 8) = 0,518

Passo 5

Na letra e, o comprimento esperado do menor segmento após a ruptura, ou seja, o mínimo.

O segmento mais curto tem comprimento min(Y, 12 – Y) então:

E m i n Y ,   12   –   Y = ∫ 0 12 min ⁡ y , 12 - y . f   y d y

E m i n Y ,   12   –   Y = ∫ 0 6 min ⁡ y , 12 - y . f   y d y + ∫ 6 12 min ⁡   y , 12 - y . f   y d y

E m i n Y ,   12   –   Y = ∫ 0 6 y . f   y d y + ∫ 6 12 12 - y ⁡ . f   y d y

E m i n Y ,   12   –   Y = 90 24 = 3,75

Até a próxima, pessoal!

Resposta

  1. 1 48 y 2 - y 3 18
  2. 0, 259, 0,5 e 0,241
  3. 6, 43,2 e 7,2
  4. 0,518
  5. 3,75

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