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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Jay Devore, Probabilidade e estatística para engenharia e ciências- Ed: 6º - Capítulo 4.Exercícios Suplementares - Ex. 114

Com base nos dados de um experimento de lançamento de dardos, o artigo “Shooting Darts” (Chance, Summer, 1997, p. 16-19) propôs que os erros horizontais e verticais em relação a um alvo pontual devem ser independentes um do outro, cada um com distribuição normal de média 0 e variância σ 2 . Podemos mostrar então que a fdp da distância V do alvo até o ponto de toque é

f v = v σ 2 ∙ e - v 2 / 2 σ 2                   v > 0

a. Essa fdp é membro de que família apresentada neste capítulo?

b. Se σ = 20   m m (próximo ao valor sugerido no artigo), qual é a probabilidade de um dardo ser acertado dentro de 25mm (cerca de 1 pol.) do alvo?

Passo 1

Falaaa, meu querido/minha querida. Como vai?? Para resolvermos essa questão, na letra (a) vamos apenas manipular um pouco a equação do enunciado e na (b) calcularmos a probabilidade usando a equação acima também. Bora lá!!!

Passo 2

Manipulando a fdp f ( v ) dado pelo enunciado:

f v = v σ 2 ∙ exp ⁡ - v 2 2 σ 2  

= 2 v 2 σ 2 exp ⁡ - v 2 2 σ 2  

= 2 v 2 σ 2   ∙ exp ⁡ - v 2 2 σ 2  

f v = 2 2 σ 2   ∙ v 2 - 1 ∙ exp ⁡ - v 2 2 σ 2  

Agora, analisando a fdp acima, podemos dizer que é uma distribuição Weibull com parâmetros α = 2 e β = 2 σ .

Passo 3

O enunciado nos diz que σ = 20   m m , então:

f v = v 400 ∙ exp ⁡ - v 2 800  

Assim, a probabilidade de um dardo cair dentro de 25mm do alvo é:

P v ≤ 25 = ∫ - ∞ 25 f ( v ) ∙ d v

= ∫ 0 25 v 400 ∙ exp ⁡ - v 2 800 d v

P v ≤ 25 = 0,5422

Resposta

Resolução nos passos anteriores.

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