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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Jay Devore, Probabilidade e estatística para engenharia e ciências- Ed: 6º - Capítulo 3.Exercícios Suplementares - Ex. 106

Gafanhotos distribuem-se aleatoriamente em um vasto campo, de acordo com uma distribuição de Poisson, com parâmetro α = 2 por jarda quadrada. Qual é o tamanho do raio R de uma região amostral circular para que a probabilidade de se encontrar pelo menos um gafanhoto na região seja de 0,99?

Passo 1

Fala galera, beleza? Vamos resolver mais um exercício, vem comigo!

Antes de iniciarmos com a resolução vamos deixar claro algumas coisas.

O exercício trata de um problema relacionado com a distribuição de Poisson. O parâmetro alfa é dado para gente no enunciado. Além disso como tem a seguinte frase “pelo menos um”, nos dá um gatilho muito grande para usar o complementar. Talvez, seja esse caminho...

Spoiler: é (desculpa)

Passo 2

Matematicamente, temos:

P a o   m e n o s   u m = 1 - P ( n e n h u m )

Traduzindo para Poisson, chegamos em:

P a o   m e n o s   u m = 1 - P n e n h u m = 1 - e - α π R 2 α π R 2 0 ! 0 = 1 - e - α π R 2

Assim:

P a o   m e n o s   u m = 1 - e - α π R 2 = 0.99

0.99 é um dado do nosso enunciado.

Desse modo, chegamos na seguinte expressão:

e - α π R 2 = 0.01

Vamos deixar isso tudo mais bonitinho pra gente determinar o que queremos.

R 2 = - l n ⁡ ( 0.01 ) α π = 0.7329 → R = 0.8561

Resposta

R = 0.8561

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