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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Jay Devore, Probabilidade e estatística para engenharia e ciências- Ed: 6º - Capítulo 3.Exercícios Suplementares - Ex. 114

Se X é uma va hipergeométrica, demonstre diretamente pela definição que E X =   n M / N (considere apenas o caso n < M ). [Sugestão: Fatore n M / N na soma de E ( X ) e mostre que os termos da soma têm a forma h ( y ;   n - 1 ,   M - 1 ,   N -   1 ) , onde y = x -   1 .]

Passo 1

Fala galera, beleza? Vamos resolver mais um exercício, vem comigo!

Quando vejo um exercício assim, sinto saudade da época de vestibular e ENEM.

Tempo que não volta mais hahahahaha

Mas, vamos seguir e resolver esse exercício, vai ser tranquilinho!

Passo 2

Para resolver o problema vamos usar a definição de valor esperado, seguido da dica dada no enunciado. Essas sugestões na maioria das vezes mata o exercício bem fácil e deixa o nosso caminho muito MAS MUITOOO mais fácil.

Assim:

E X = ∑ x = 0 n x M x N - M n - x N n

Agora tá tudo encaminhado, vamos abrir termo a termo, e aproveitar esse x solto no caminho, nada de se assustar, é natural!

E X = ∑ x = 0 n M ! x - 1 ! M - x ! N - M n - x N n   n M N ∑ x = 1 n M - 1 x - 1 N - M ) n - x N - 1 n - 1

Continuando, mas agora mudando para a variável y, temos:

E X = n M N ∑ y = 0 n - 1 M - 1 y N - 1 - ( M - 1 ) n - 1 - y N - 1 n - 1   n M N ∑ y = 0 n - 1 h y ; n - 1 , M - 1 , N - 1 = n M N

Resposta

Vide demonstração.

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