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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Walpole - Probabilidade e Estatística para Engenharia e Ciências- Ed: 8º - Capítulo 3.Exercícios - Ex. 47

A quantidade de querosene, em milhares de litros, em um tanque, no início de qualquer dia, é uma quantidade aleatória K, da qual uma quantidade aleatória X é vendida por dia. Suponha que o tanque não seja reabastecido durante o dia, de modo que x ≤ y , e assuma que a função densidade conjunta dessas variáveis seja

f x , y = 2 ,                       0 < x < y < 1 0 ,                   c a s o   c o n t r á r i o

(a) Determine se X e Y são independentes.

(b) Determine P ( 1 / 4 < X < 1 / 2   |   Y   = 3 / 4 ) .

Passo 1

Falaa, meu querido/minha querida. Para definirmos que duas variáveis são independentes, precisamos verificar a seguinte relação:

f x ,   y = g x h ( y )

Então, bora para os cálculos!!!

Passo 2

Para verificarmos a independência das variáveis, primeiro temos que calcular suas distribuições marginais.

Calculando a distribuição marginal de X :

g x = ∫ - ∞ ∞ f ( x ,   y ) d y

= ∫ x 1 2 d y

g x = 2 - 2 x

Calculando a distribuição marginal de Y :

h y = ∫ - ∞ ∞ f ( x ,   y ) d x

= ∫ 0 y 2 d x

h y = 2 y

Agora, podemos observar a relação abaixo:

f x ,   y = 2 ≠ 2 - 2 x 2 y = g x h ( y )

Então, as variáveis não são independentes.

Passo 3

Para calcularmos a probabilidade solicitada, nós vamos usar a distribuição condicional.

P ( 1 / 4 < X < 1 / 2   |   Y   = 3 / 4 ) = ∫ 1 / 4 1 / 2 f x , 3 4 h 3 4 d x

= ∫ 1 / 4 1 / 2 2 2 ∙ 3 4 d x

= ∫ 1 / 4 1 / 2 4 3 d x

= 4 3 1 2 - 1 4

P ( 1 / 4 < X < 1 / 2   |   Y   = 3 / 4 ) = 1 3

Resposta

(a) Não são independentes.

(b) 1 / 3

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