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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Montgomery - Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros- Ed: 4º - Capítulo 5.Exercícios - Ex. 42

Determine a covariância e a correlação para a função densidade de probabilidade conjunta f x y ( x , y ) = 6 × 1 0 - 6 e - 0.001 x - 0.002 y para a faixa de 0 < x e x < y do Exemplo 5-12.

Passo 1

A definição da covariância entre as variáveis ​​aleatórias X e Y é

σ X Y = c o v ⁡ ( X , Y ) = E [ ( X - E ( X ) ) ( Y - E ( Y ) ) ] = E ( X Y ) - E ( X ) E ( Y )

A correlação entre as variáveis ​​aleatórias X e Y é definida como:

ρ X Y = c o v ⁡ ( X , Y ) V ( X ) V ( Y )

onde V ( X ) é a variância do X aleatório definido como:

V ( X ) = E ( X - E ( X ) ) 2 = E X 2 - ( E ( X ) ) 2

Conhecemos a função de densidade conjunta:

f X Y ( x , y ) = { 0           , c a s o   c o n t r á r i o     6 × 10 - 6 e - 0.001 x - 0.002 y         , x > 0 , y > x  

A partir da função de densidade, podemos calcular as funções de densidade marginal para X e Y. Nós vamos calcular as funções de densidade marginal como:

f X ( x ) = ∫ - ∞ ∞   f X Y ( x , y ) d y     f Y ( y ) = ∫ - ∞ ∞   f X Y ( x , y ) d x  

Vamos primeiro calcular para a variável aleatória X, seja x > 0 :

f X ( x ) = ∫ - ∞ ∞   f X Y ( x , y ) d y = ∫ 0 x   0 d y + ∫ x ∞   6 ⋅ 10 - 6 e - 0.001 x - 0.002 y d y =     = 6 ⋅ 10 - 6 e - 0.001 x ∫ x ∞   e - 0.002 y d y = - 0.002 y = t   y = x → t = - 0.002 x   - 0.002 d y = d t   y = ∞ → t = - ∞   =  

= 6 ⋅ 10 - 6 e - 0.001 x ∫ - 0.002 x - ∞   e t - 1 0.002 d t = - 0.003 e - 0.001 x e t | - 0.002 x - ∞     ( 1 ) _ 0.003 e - 0.001 x e - 0.002 x = 0.003 e - 0.003 x  

Passo 2

Agora x ≤ 0 , obviamente, f X ( x ) = 0 por causa da função de densidade conjunta. A função de densidade marginal é:

f X ( x ) = { 0         , x ≤ 0   0.003 e - 0.003 x         , x > 0  

Vamos calcular a função de densidade marginal para a variável aleatória Y. Seja y > 0 , então temos:

f Y ( y ) = ∫ - ∞ ∞   f X Y ( x , y ) d x = 1 ∫ - ∞ 0   0 d x + ∫ 0 y   6 ⋅ 10 - 6 e - 0.001 x - 0.002 y d x + ∫ y ∞   0 d x =     = 6 ⋅ 10 - 6 e - 0.002 y ∫ 0 y   e - 0.001 x d x = 6 ⋅ 10 - 6 e - 0.002 y - 1 0.001 e - 0.001 x | o y =     = - 0.006 e - 0.002 y e - 0.001 y - e - 0.001 - 0 =     = 0 . 006 e - 0.002 y 1 - e - 0.001 y  

A função fica:

f Y ( y ) = { 0         , y ≤ 0   0.006 e - 0.002 y 1 - e - 0.001 y         , y > 0  

Uma vez que as variáveis ​​aleatórias que recebemos são contínuas, porque temos função de densidade conjunta que é uma função contínua, calculamos a expectativa como:

E ( X ) = ∫ - ∞ ∞   x f X ( x ) d x

Vamos agora calcular as expectativas pela definição acima:

E ( X ) = ∫ - ∞ ∞   x f X ( x ) d x = ∫ - ∞ 0   0 d x + ∫ 0 ∞   x ⋅ 0.003 e - 0.003 x d x =     = u = x   d v = e - 0.003 x   d u = d x   ∫ d v = ∫ e - 0.003 x d x   v   = - 1 0.003 e - 0.003 x   =  

0.003 x - 1 0.003 e - 0.003 x | 0 ∞ - ∫ 0 ∞   - 1 0.003 e - 0.003 x d x =     = 0.003 0 + 1 0.003 ∫ 0 ∞   e - 0.003 x d x = 3 - 1 0.003 ( 0 - 1 ) =     = 1 0.003  

Passo 3

Para a variável aleatória Y, temos:

E ( Y ) = ∫ - ∞ ∞   y f Y ( y ) d y = ∫ 0 ∞   y ⋅ 0.006 e - 0.002 y 1 - e - 0.001 y d y =     = ∫ 0 ∞   y ⋅ 0.006 e - 0.002 y d y - ∫ 0 ∞   y ⋅ 0.006 e - 0.002 y e - 0.001 y d y =     = 1500 - 2000 3 = 2500 3  

Para calcular E ( X 2 ) , observe que X 2 é uma variável aleatória contínua e que pode ser escrito como g ( X ) = X 2 . Nós sabemos que:

E ( g ( X ) ) = ∫ - ∞ ∞   g ( x ) f X ( x ) d x

Então temos:

E X 2 = ∫ - ∞ ∞   x 2 f X ( x ) d x = ∫ 0 ∞   x 2 ⋅ 0.003 e - 0.003 x d x =     = u = x 2   d v = e - 0.003 x   d u = 2 x d x   ∫ d v = ∫ e - 0.003 x d x   v   = - 1 0.003 e - 0.003 x   =  

= - x 2 e - 0.003 x | 0 ∞ + 2 ∫ 0 ∞   x e - 0.003 x d x =     = 2 0.003 ⋅ 1 0.003 = 2 0.000009  

Para calcular E ( X Y ) , observe que X Y é uma variável aleatória contínua e que pode ser escrito como g ( X , Y ) = X Y . Nós sabemos que:

E ( g ( X , Y ) ) = ∫ - ∞ ∞   ∫ - ∞ ∞   g ( x , y ) f X Y ( x , y ) d x d y

Então,

E ( X Y ) = ∫ - ∞ ∞   ∫ - ∞ ∞   x y f X Y x , y d x d y = ∫ 0 ∞   ∫ 0 y   x y ⋅ 6 × 10 - 6 e - 0.001 x - 0.002 y d x d y =     = ∫ 0 ∞   6 ⋅ 10 - 6 ⋅ y e - 0.002 y ∫ 0 y   x e - 0.001 x d x d y =     = ∫ 0 ∞   6 ⋅ 10 - 6 ⋅ y e - 0.002 y 1000000 - 1000 y + 1000000 e - 0.001 y d y =     = 3500000 9  

Passo 4

Vamos calcular as variâncias agora:

V ( X ) = E X 2 - ( E ( X ) ) 2 = 2 0.000009 - 1 0.003 2 = 1 0.000009     V ( Y ) = E Y 2 - ( E ( Y ) ) 2 = 9500000 9 - 2500 3 2 = 3250000 9  

Finalmente, o seguinte é válido para a covariância:

σ X Y = c o v ⁡ ( X , Y ) = E [ ( X - E ( X ) ) ( Y - E ( Y ) ) ] = E ( X Y ) - E ( X ) E ( Y ) =     = 3500000 9 - 1 0.003 ⋅ 2500 3 = 3500000 9 - 2500 0.009 = 1000000 9  

E para calcular a correlação, precisamos:

V ( X ) V ( Y ) = 1 0.000009 ⋅ 3250000 9 = 3 250000 0.000081

Portanto, a correlação é:

ρ X Y = 1000000 ∖ 9 3250000 ∖ 0.000081 = 9000 3250000 ⋅ 9 = 1000 3250000 ≈ 0.55

Resposta

  1. c o v ( X , Y ) = 1000000 9
  2. ρ X Y ≈ 0.55
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