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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Walpole - Probabilidade e Estatística para Engenharia e Ciências- Ed: 8º - Capítulo 4.Exercícios - Ex. 68

Calcule P ( μ - 2 σ < X < μ + 2 σ ) , onde X tem função de densidade

f x = 6 x 1 - x ,                               0 < x < 1 0 ,                                             c a s o   c o n t r á r i o

E compare com o resultado dado no teorema de Chebyshev.

Passo 1

Falaa, meu querido/minha querida. Antes de encontrarmos P ( μ - 2 σ < X < μ + 2 σ ) , precisamos definir o valor da média e do desvio padrão da variável X .

E lembrando que o teorema de Chebyshev é definido por:

P μ X - k σ X < X < μ X + k σ x ≥ 1 - 1 k 2

Então, bora para os cálculos!!

Passo 2

Encontrando a média da variável X :

μ = ∫ x x f ( x ) d x

= ∫ 0 1 x 6 x ( 1 - x ) d x

= 6 ∫ 0 1 ( x 2 - x 3 ) d x

= 6 1 3 x 3 - 1 4 x 4 0 1

= 6 1 3 - 1 4

μ = 1 2

Agora, vamos encontrar o valor esperado da variável X 2 para definirmos a variância:

E X 2 = ∫ x x 2 f ( x ) d x

= ∫ 0 1 x 2 6 x ( 1 - x ) d x

= 6 ∫ 0 1 ( x 3 - x 4 ) d x

= 6 1 4 x 4 - 1 5 x 5 0 1

= 6 1 4 - 1 5

E ( X 2 ) = 3 10

Sendo assim, a variância é:

σ 2 = E X 2 - μ 2 = 3 10 - 1 2 2 = 1 20

Finalmente, podemos definir o desvio padrão:

σ = 1 / 20 = 5 10

Passo 3

Portanto, a probabilidade que precisamos calcular é:

P 1 2 - 2 5 10 < X < 1 2 + 2 5 10 = P 5 - 2 5 10 < X < 5 + 2 5 10

= ∫ 5 - 2 5 10 5 + 2 5 10 6 x ( 1 - x ) d x

= 6 ∫ 5 - 2 5 10 5 + 2 5 10 ( x - x 2 ) d x

= 6 x 2 2 - x 3 3 5 - 2 5 10 5 + 2 5 10

= 6 1 2 5 + 2 5 10 - 1 3 5 - 2 5 10

P 1 2 - 2 5 10 < X < 1 2 + 2 5 10 = 0,9891

Passo 4

Comparando a expressão do nosso problema com o teorema de Chebyshev, nós temos que k = 2 , e aplicando o teorema obtemos:

P 1 2 - 2 5 10 < X < 1 2 + 2 5 10 ≥ 1 - 1 2 2 = 0,75

Resposta

Valor exato: 0,9891

Valor aproximado: 0,75

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