Enunciado

A calibração de uma balança será verificada pela pesagem de um espécime de teste de 10   k g 25 vezes. Suponha que os resultados das diferentes pesagens sejam independentes entre si e que o peso em cada tentativa seja normalmente distribuído com σ = 0,200   k g .Seja μ a leitura do peso médio real da balança.

a. Quais hipóteses devem ser testadas?

b. Suponha que a balança seja recalibrada se x ‾ ≥ 10,1032 ou x ‾ ≤ 9,8968 . Qual é a probabilidade de a recalibração ser realizada quando for realmente desnecessária?

c. Qual é a probabilidade de a recalibração ser considerada desnecessária quando na verdade μ = 10,1 ? E quando μ = 9,8 ?

d. Seja z = ( x ‾ - 10 ) / ( σ / n ) . Para que valor de c a região de rejeição do item (b) é equivalente à região "bicaudal" z ≥ c ou z ≤ - c ?

e. Se o tamanho da amostra fosse somente 10 e m vez de 25 , como o procedimento do item (d) deve ser alterado de modo que α = 0,05 ?

f. Usando o teste do item (e), que conclusão você tiraria dos dados da amostra a seguir: 9,981 10,006 9,857 10,107 9,888 9,728 10,439 10,214 10,190 9,793

g. Reescreva o procedimento de teste da parte (b) em termos da estatística de teste padronizada Z = ( X ‾ - 10 ) / ( σ / n )

Passo 1

a.  H o : μ = 10  vs  H a : μ ≠ 1 0

Passo 2

b.   α = P (rejeitando H o quando H o é verdadeiro)=   P ( x ‾ ≥ 10.1032 ou ≤ 9.8968 quando μ=10). Como x é normalmente distribuído com desvio padrão σ n = . 2 5 = . 04 , α = P ( z ≥ 2.58  or  ≤ - 2.58 ) = . 005 + . 005 = . 0 1

Passo 3

c. Quando μ = 10.1 , E ( x ‾ ) = 10.1 , então β ( 10.1 ) = P ( 9.8968 < x ‾ < 10.1032 quando μ = 10.1 ) = P ( - 5.08 < z < . 08 ) = . 5319 . Similarmente β ( 9.8 ) = P ( 2.42 < z < 7.58 ) = . 007 8

Passo 4

d.  c = ± 2.5 8

Passo 5

e. A g o r a ⁡ σ n = . 2 3.162 = . 0632 . Então 10.1032 é trocado por c, em que c - 10 . 0632 = 1.96 e então c = 10.124 . Similarmente, 9.8968 é trocado por 9.876 .

Passo 6

f. . x ‾ = 10.020 . Como x ‾ não é ≥10,124 nem ≤9,876, não está na região de rejeição. H 0 não é rejeitado; ainda é plausível que μ=10.

Resposta

g.  x - ≥ 10.1032  ou   ≤ 9.8968  se   z ≥ 2.58  ou   ≤ - 2.58 .

Resposta

a. H o : μ = 10  vs  H a : μ ≠ 1 0

b. 0 1

c. 007 8

d, ± 2.5 8

e. Similarmente, 9.8968 é trocado por 9.876 .

f. H 0 não é rejeitado; ainda é plausível que μ=10.

g. x - ≥ 10.1032  ou   ≤ 9.8968  se   z ≥ 2.58  ou   ≤ - 2.58 .

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