Enunciado

O calor liberado,em calorias por grama,de uma mistura de cimento tem distribuicao aproximadamente normal.A media deve ser 100 codesvio-padrio e 2.Desejamos testar H:p=100 versus Hp100, com uma amostra de n=9 especimes.

  1. Se a regiao de aceitacao for definida como 985ss101.5.encontre a probabilidade a do erro tipo l.
  2. Encontre B para o caso em que o verdadeiro calor medio liberado seja 103.
  3. Encontre B para o caso em que o verdadeiro calor medio liberado seja 105.Esse valor de Be menor do que aquele encontrado no item b. Por que?

Passo 1

A probabilidade de cometer um erro tipo I é

α = P (  erro tipo I ) = P  rejeita  H 0  quando  H 0  é verdadeiro).                  (1) 

Às vezes, a probabilidade de erro tipo I é chamada de nível de significância, erro- α ou tamanho do teste.

A média é considerada μ = 100 , e o desvio padrão é σ = 2 . Você deseja testar H 0 : μ = 100 versus H 1 : μ ≠ 100 , com uma amostra de n = 9 espécies.

Passo 2

Letra a:

A região de aceitação é definida como

98.5 ≤ x - ≤ 101.5

então, da Equação (1), a probabilidade de erro tipo I é

α = P ( 98.5 > x -   q u a n d o   μ = 100 ) + P ( x - > 101.5   q u a n d o   μ = 100 ) = P 98.5 - 100 2 9 > x - - μ σ n  quando  μ = 100 + x - - μ σ n > 101.5 - 100 2 9 = * P ( z > 2.25 ) + P ( z < - 2.25 ) = 1 - P ( z ≤ 2.25 ) + 1 - P ( z ≥ - 2.25 )

( * ) : A distribuição da variável aleatória

Z = x - - μ σ / n

é aproximadamente normal com média μ   e desvio padrão σ n .

Portanto, a partir da Tabela III do Apêndice, a probabilidade de erro tipo I é

α = ( * * ) 2 - 2 P ( z ≤ 2.25 ) = 0.024448

( * * ) : Com base na simetria da distribuição normal

P ( z ≤ 2.25 ) = P ( z ≥ - 2.25 )

Passo 3

Letra b:

Ao avaliar um procedimento de teste de hipótese, também é importante examinar a probabilidade de um erro do tipo II. Isso é

β = P  erro tipo II = P  falha em rejeitar  H 0  quando  H 0  é falso                      ( 1 )

O verdadeiro calor médio evoluído é 103, e da Equação (1) obtemos

β = P ( 98.5 ≤ x - ≤ 101.5   q u a n d o   μ = 103 ) = P 98.5 - μ σ n ≤ x - - μ σ n ≤ 101.5 - μ σ n  quando  μ = 103 = P 98.5 - 103 2 9 ≤ x - - 103 2 9 ≤ 101.5 - 103 2 9 = P ( - 6.75 ≤ z ≤ - 2.25 ) = P ( z ≤ - 2.25 ) - P ( z ≤ - 6.75 )

Portanto, a partir da Tabela III do Apêndice, a probabilidade de erro do tipo II é

β = 0.012224

Passo 4

Letra c:

O verdadeiro calor médio evoluído é 105, e da Equação (1) obtemos

β = P ( 98.5 ≤ x - ≤ 101.5   q u a n d o   μ = 105 ) = P 98.5 - μ σ n ≤ x - - μ σ n ≤ 101.5 - μ σ n  quando  μ = 105 = P 98.5 - 105 2 9 ≤ x - - 105 2 9 ≤ 101.5 - 103 2 9 = P ( - 9.75 ≤ z ≤ - 5.25 ) = P ( z ≤ - 5.25 ) - P ( z ≤ - 9.75 )

Portanto, a partir da Tabela III do Apêndice, a probabilidade de erro do tipo II é

β = 1 - 1 = 0

Este valor de β é menor do que aquele encontrado na parte b), porque o intervalo (-9.75, -5.25) é menor do que o intervalo (-6.75, -2.25) e

P ( z ∈ ( - 9.75 , - 5.25 ) ) < P ( z ∈ ( - 6.75 , - 2.25 ) )

Resposta

  1. α = 0.024448
  2. β = 0.012224
  3. β = 0
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