Enunciado
Probabilidade e Estatística - Probabilidade, um curso moderno com aplicações, de Sheldon Ross- Ed: 8º - Capítulo 3.Problemas - Ex. 49
O câncer de próstata é o tipo de câncer mais comum entre os homens. Para verificar se alguém tem câncer de próstata, os médicos realizam com frequência um teste que mede o nível de PSA produzido pela próstata. Embora altos níveis de PSA sejam indicativos de câncer, o teste é notoriamente pouco confiável. De fato, a probabilidade de que um homem que não tenha câncer apresente níveis elevados de PSA é de aproximadamente 0,135, valor que cresce para aproximadamente 0,268 se o homem tiver câncer. Se,com base em outros fatores, um fisiologista tiver 70% de certeza de que um homem tem câncer de próstata, qual é a probabilidade condicional de que ele tenha câncer dado que
(a) o teste tenha indicado um nível elevado de PSA?
(b) o teste não tenha indicado um nível elevado de PSA?
Passo 1
Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!
Vamo lá, qual é o primeiro da imensa maioria dos problemas desse capítulo? Isso mesmo, identificar os eventos, então, vamos pensar, quais os eventos relacionados ao enunciado, não seria o fato de ter câncer e os níveis de PSA na próstata? Então, temos os seguintes eventos
As probabilidades são específicas para o teste de PSA, no teste em si, temos que a seguinte probabilidade de sucesso
Que é o dado do fisiologista, e também temos as condições de testes dos níveis de PSA, que são
E
Para a letra a, tem a condição do teste ter indicado uma condição alta, ou seja, a seguinte probabilidade condicional , e para a letra b, temos o complementar dos níveis de PSA, logo é a seguinte probabilidade . Então, vamos calcular as duas probabilidades!
Passo 2
A – Como e são hipóteses concorrentes, e respectivamente, a união desses dois eventos é o espaço amostral, podemos utilizar a fórmula de Bayes para este caso, com isso, nós temos que
Agora, neste caso é somente substituir os valores, já que temos as probabilidades do lado direito da igualdade, com isso
Esse valor nos dá aproximadamente
Passo 3
B – A probabilidade de pode ser calculado da definição:
Do numerador, nós temos a seguinte relação:
Substituindo os valores, nós obtemos o seguinte resultado
Já na parte do denominador, nós temos que
Agora, é somente substituir os valores
Isso nos dá o seguinte valor aproximado