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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Jay Devore, Probabilidade e estatística para engenharia e ciências- Ed: 6º - Capítulo 3.Exercícios - Ex. 36

Os n candidatos a uma vaga foram classificados como 1, 2, 3,..., n. Seja X = a classificação de um candidato selecionado aleatoriamente, de forma que X tenha fmp

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Recebemos a variável aleatória XX e sua função de massa de probabilidade (fmp) -- distribuição uniforme discreta.

O Valor Esperado (valor médio) de uma variável aleatória discreta X com conjunto de valores possíveis S e fmp p(x) é

E X =   μ X =   ∑ x   ∈   S x ∙ p ( x )

O seguinte vale

E X =   ∑ x   ∈ S x ∙ p x =   ∑ x = 1 n x ∙ 1 n = 1 ∙ 1 n + 2 ∙ 1 n + … + n ∙ 1 n

= 1 n 1 + 2 + … + n = 1 n ∙ n n + 1 2

= n + 1 2

Passo 2

Proposição: O seguinte é verdadeiro

V X =   σ 2 = ∑ x   ϵ   S x 2 ∙ p x -   μ 2 = E X 2 - E X 2

A proposição é conhecida como fórmula de atalho.

Para usar a fórmula de atalho, precisamos calcular E X 2

O Valor Esperado (valor médio) de qualquer função g(X), onde X é uma variável aleatória discreta XX com um conjunto de valores possíveis S e fmp p(x), denotados como E[g(X)] μ g x é

E g X =   μ g x =   ∑ x   ϵ   S g x ∙ p x

No nosso caso, g X = X 2 ,

E X 2 =   ∑ x   ∈   S g x ∙ p ( x =   ∑ x = 1 n x 2 ∙ 1 n

= 1 n 1 2 + 2 2 + … + n 2 = 1 n ∙ n n + 1 2 n + 1 6

= n + 1 2 n + 1 6

Agora podemos usar a fórmula de atalho. O seguinte é verdade

V X = E X 2 - E X 2 = n + 1 2 n + 1 6 - n + 1 2 2

= 2 n + 1 n 2 + 1 12 - 3 n + 1 2 12

= n + 1 4 n + 2 - 3 n - 3 12

= n + 1 n - 1 12

= ( n 2 - 1 ) / 12

Resposta

E X = ( n + 1 ) / 2

V X = n 2 - 1 12

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