Mostre que para uma variável aleatória discreta X, se cada um dos valores na faixa de X for multiplicado pela constante c, então o efeito será o de multiplicar a média de X por ce a variância de X por c 2 . Ou seja, mostre que E ( c X ) = c E ( X ) e V ( c X ) = c 2 V ( X ) .

Passo 1

Vamos observar diretamente da definição de média:

E ( c X ) = c E ( X )

Agora, vamos analisar as seguintes afirmativas:

  • O intervalo de c X é o intervalo de X multiplicado por c .
  • A função de massa de probabilidade da variável aleatória c X é exatamente a função de massa de probabilidade de X .
  • f c X ( c p ) = P ( c X = c p ) = P ( X = p ) = f X ( p )
  • E ( c X ) = ∑ c x f c X ( c x ) = c ∑ x f X ( x ) = c E ( X )

Passo 2

Agora, calculamos a variância:

A variância é o valor esperado do desvio ao quadrado da média.

V a r ( c X ) = E ( ( c X - E ( c X ) ) 2 ) = E ( ( c X - c E ( X ) ) 2 ) = c 2 E ( ( X - E ( X ) ) 2 ) = c 2 V a r ( X )

Resposta

Vamos encontrar a função de massa de probabilidade e o alcance da variável aleatória

c X e depois usar as definições de média e variância.

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