63. Um sistema consiste de cinco componentes idênticos conectados em série, conforme ilustrado:

Se um componente falhar, todo o sistema falhará. Suponha que cada componente tenha um tempo de vida distribuído exponencialmente com λ = 0,01 e que eles falhem de forma independente. Defina os eventos Ai = {i-ésimo componente que dura no mínimo t horas}, i = 1,..., 5, de forma que os Ais são eventos independentes. Seja X = momento da falha do sistema, isto é, o tempo de vida mais curto (mínimo) entre os cinco componentes.

a) O evento {X t} é equivalente a que evento que envolva A1 , . . . , A5?

b) Usando a independência dos Ais, calcule P(X t). Obtenha então F(t) = P(X t) e a fdp de X. Que tipo de distribuição tem X?

c) Suponha que haja n componentes, cada um com tempo de vida exponencial com parâmetro λ . Que tipo de distribuição tem X?

Passo 1

Fala galerinha boa? Tudo bem com vocês? Vamos realizar mais um exercício sobre Distribuição Exponencial.

Na letra a, queremos o evento {X t}:

P ( X ≥ t ) = A 1 ∩ A 2 ∩ A 3 ∩ A 4 ∩ A 5

Passo 2

Na letra b, queremos F(t) = P(X t) e a fdp de X:

P ( X ≥ t ) = P ( A 1 ) . P ( A 2 ) . P ( A 3 ) . P ( A 4 ) . P ( A 5 ) = e - λ t 5 = e - 0,05 t

Então:

F x t = P X ≤ t = 1 - e - 0,05 t ;   f x t = 0,05 e - 0,05 t   p a r a   t ≥ 0

Sendo assim, X tem distribuição exponencial, mas com parâmetro λ = 0,05.

Passo 3

Na letra c, pelo mesmo raciocínio da letra b, P X ≤ t = 1 - e - n λ t . Então, X tem distribuição exponencial com parâmetro n λ .

Valeu, moçada! Até a próxima!

Resposta

a) P ( X ≥ t ) = A 1 ∩ A 2 ∩ A 3 ∩ A 4 ∩ A 5

b) F x t = P X ≤ t = 1 - e - 0,05 t ;   f x t = 0,05 e - 0,05 t   p a r a   t ≥ 0

c) P X ≤ t = 1 - e - n λ t

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