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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Probabilidade Um Curso Introdutório - Dantas- Ed: 3º - Capítulo 4.Exercícios - Ex. 24

Considere X uma variável aleatória Poisson com parâmetro λ .

a) mostre que E X n = λ E x + 1 n - 1 ;

b) calcule E x 4 ;

c) determine E x ! ,   p a r a   0 < λ < 1 ;

d) determine E cos ⁡ π x     e   v a r [ cos ⁡ π x ] .

Passo 1

Falaaaaa rapaziada tudo blz?

Nessa questão do livro de probabilidade do Dantas ele pede para considerar X uma variável aleatória Poisson com parâmetro λ .

a) mostre que E X n = λ E x + 1 n - 1 ;

b) calcule E x 4 ;

c) determine E x ! ,   p a r a   0 < λ < 1 ;

d) determine E cos ⁡ π x     e   v a r [ cos ⁡ π x ] .

Precisa ficar assim não meus abençoados conforme você for vendo os passos vai perceber que ela é de boa.

Passo 2

Sabendo que para determinar uma variável aleatória temos,

X 1 , X 2 , … , X n são distas independentes para todos os valores de x 1 , x 2 , … , x n das mesmas resultando na fórmula,

P [ X 1 = x 1 ,   P X 2 = x 2 … . . P [ X n = x n ]

Logo adotando a aplicação nas opções pedias vamos ter que,

Na letra (a) para mostrar que,

E X n = λ E x + 1 n - 1

Temos,

E X n = λ E x → E ' X n = λ

Já na letra (b) para calcular E x 4 , temos

E x 4 = 4 λ E X → E ' X = 4

E por fim na letra ( c ) para determinar

E x ! ,   p a r a   0 < λ < 1

Temos,

E x ! = ∫ 0 1 λ d λ

Resolvendo a integral vamos ter que,

E x ! = 1 - P !

E por fim na letra (d) para determinar,

E cos ⁡ π x     e   v a r [ cos ⁡ π x ]

Temos,

E [ cos ⁡ π x ] = ∫ - 1 1 x 2 d x = 0 e v a r [ cos ⁡ π x ] = x

Ficando,

E cos ⁡ π x = 0     e   v a r [ cos ⁡ π x ] = π

Espero que eu tenha ajudado e te vejo no próximo desafio.

Até a próxima.

Resposta

a) E X n = λ E [ x ]

b) E ' x 4 = 4

c) E x ! = 1 - P !

d) E cos ⁡ π x = 0     e   v a r [ cos ⁡ π x ] = π

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