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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Montgomery - Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros- Ed: 4º - Capítulo 4.Exercícios - Ex. 97

Chamadas para o sistema telefônico seguem uma distribuição de Poisson, com uma média de cinco chamadas por minuto.

  1. Qual é o nome aplicado à distribuição e quais são os valores dos parâmetros do tempo até a décima chamada?
  2. Qual é o tempo médio até a décima chamada?
  3. Qual é o tempo médio entre a nona e a décima chamadas?
  4. Qual é a probabilidade de exatamente quatro chamadas ocorrerem dentro de um minuto?
  5. Se 10 intervalos separados por um minuto forem escolhidos, qual será a probabilidade de que todos os intervalos contenham mais de duas chamadas?

Passo 1

Então gente, vamos denotar com λ o parâmetro da distribuição de Poisson, da variável aleatória X. Isso é dado e é:

λ = 5   c h a m a d a s   p o r   m i n u t o

Passo 2

Letra a:

Isso se chama distribuição de Erlang, com os seguintes parâmetros:

λ = 5   c h a m a d a s   p o r   m i n u t o s

r = 10

Passo 3

Letra b:

Agora, vamos calcular a média da distribuição de Erlang com os parâmetros obtidos na letra a (acima):

μ = r λ = 2   m i n u t o s

Passo 4

Letra c:

Vamos calcular a média da distribuição exponencial (nota que isso é equivalente a distribuição de Erlang com o parâmetro r mudado para 1.)

𝑣 = 1 λ = 0.2   m i n u t o s

Passo 5

Letra d:

Agora, nós vamos ter que calcular a probabilidade da variável aleatória X ser 4. Lembramos que nós fazemos X ser uma variável aleatória de Poisson com o parâmetro λ = 5 . A sua função de densidade de probabilidade é então:

f ( k ) = P ( X = k ) = e - λ λ k k !

Agora, vamos calcular:

P ( X = 4 ) = e - 5 × 5 4 4 ! = 0.175

Passo 6

Letra e:

Por causa da independência, nós podemos calcular a probabilidade que ele pede:

P ( X > 2 ) 10 = ( 1 - f ( 0 ) - f ( 1 ) - f ( 2 ) ) 10 = 0.26

Resposta

  1. Distribuiçao de Erlang com λ = 5 e r = 10 .
  2. 2
  3. 0.2
  4. 0.175
  5. 0.26
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