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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Montgomery - Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros- Ed: 4º - Capítulo 4.Exercícios - Ex. 132

O tempo entre problemas em um processo em uma linha de produção é exponencialmente distribuído, com uma média de 30 dias.

  1. Qual é o tempo esperado até o quarto problema?
  2. Qual é a probabilidade de o tempo até o quarto problema exceder 120 dias?

Passo 1

Vamos denotar com Y a variável aleatória de Poisson com o parâmetro τ problemas por dia, com a quantidade de T dias restantes escolhida a nossa vontade. Portanto, a função de distribuição de probabilidade de Y é dado como:

f Y ( y ) = ( τ T ) y e - τ T y ! ,   y ∈ ℵ 0

Agora, nós introduzimos a variável aleatória de Erlang X, com os parâmetros r=4 e τ problemas por dia como antes.

Recebemos informações sobre a variável aleatória exponencial correspondente (que mede o tempo aleatório entre chamadas individuais) - a média desta variável exponencial é de 30 dias. Esta média e o parâmetro τ são relacionados através de:

τ = 1 30   p r o b l e m a s   p o r   d i a

Passo 2

Agora, vamos calcular a expectativa da variável aleatória Erlang X com os parâmetros r = 4 e τ = 1 / 30 da seguinte forma:

E ( X ) = r τ = 4 × 30 = 120   d i a s

Também temos que calcular a probabilidade:

P ( X > 120   d i a s ) = 1 - P ( X ≤ 120 )

Vamos fazer com que T=120 dias, o que nos leva a τ T = 4 problemas, e observe que a probabilidade acima agora é igual a (lembre-se das interpretações de Erlang e da distribuição de Poisson):

P ( Y   ≤   3 ) = f Y ( 0 ) + f Y ( 1 ) + f Y ( 2 ) + f Y ( 3 ) = 0.4334701

Resposta

0.4334701

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