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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Walpole - Probabilidade e Estatística para Engenharia e Ciências- Ed: 8º - Capítulo 5.Exercícios - Ex. 82

Considera-se produzir uma máquina de soldagem

automática. Ela será considerada para a compra se 99% de

suas soldagens forem eficazes. Caso contrário, a máquina

não será considerada eficiente. Realiza-se um teste em um

protótipo, que precisa efetuar 100 soldagens. A máquina

será aceita se perder não mais do que três soldagens.

(a) Qual é a probabilidade de que uma máquina eficiente seja rejeitada?

(b) Qual é a probabilidade de que uma máquina ineficiente com 95% de soldagens seja aceita?

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

(a) A máquina de solda automática será comprada se não perder mais de 3 soldas de 100 soldas no protótipo.

A taxa de sucesso da máquina de solda é 99 % . Vamos denotar X o número de soldas perdidas nas 100 soldas realizadas pela máquina de solda.

Em seguida, X segue-se a distribuição binomial com parâmetro n = 100 e p = 0.01 .

A distribuição de probabilidade de X é denotada pela função abaixo.

P ( X = x ) = 100 C x ( 0.01 ) x ( 0.99 ) 100 - x  for  x = 0,1 , 2 … 100

Passo 2

A probabilidade de uma boa máquina ser rejeitada é a probabilidade de que o número de soldas perdidas seja maior que 3 soldas nas 100 soldas. É denotado pela probabilidade P ( X > 3 ) .

P ( X > 3 )   = 1 - P ( X ≤ 3 )  ( Usando a p ropriedade de complemento )    = 1 - P ( X = 0 ) - P ( X = 1 ) - P ( X = 2 ) - P ( X = 3 )   = 1 - 100 C 0 ( 0.01 ) 0 ( 0.99 ) 100 - 0 - 100 C 1 ( 0.01 ) 1 ( 0.99 ) 100 - 1   - 100 C 2 ( 0.01 ) 2 ( 0.99 ) 100 - 2 - 100 C 3 ( 0.01 ) 3 ( 0.99 ) 100 - 3   = 1 - 0.366032341 - 0.369729637 - 0.184864818 - 0.060999165 P ( X > 3 )   = 0.0184

A probabilidade de que uma boa máquina seja rejeitada é 0.0184 .

Passo 3

(b) A distribuição de probabilidade do número de soldas perdidas em 100 soldas da máquina ineficiente com 95 % sucesso de soldagem é dada abaixo.

P ( X = x ) = 100 C x ( 0.05 ) x ( 0.95 ) 100 - x  for  x = 0,1 , 2 … 100

Passo 4

A probabilidade de que esta máquina ineficiente seja aceita é a probabilidade de que o número de soldas seja no máximo 3 soldas perdidas nas 100 soldas. É denotado pela probabilidade P ( X ≤ 3 ) .

P ( X ≤ 3 )   = P ( X = 0 ) + P ( X = 1 ) + P ( X = 2 ) + P ( X = 3 )   = 100 C 0 ( 0.05 ) 0 ( 0.95 ) 100 - 0 + 100 C 1 ( 0.05 ) 1 ( 0.95 ) 100 - 1 + 100 C 2 ( 0.05 ) 2 ( 0.95 ) 100 - 2 + 100 C 3 ( 0.05 ) 3 ( 0.95 ) 100 - 3   = 0.005920529 + 0.03116068 + 0.081181771 + 0.139575677   = 0.258

A probabilidade de que a máquina ineficiente com 95 % sucesso seja aceita é 0.258 .

Resposta

a) 0.0184

b) 0.258

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