Enunciado
Probabilidade e Estatística - Jay Devore, Probabilidade e estatística para engenharia e ciências- Ed: 6º - Capítulo 3.Exercícios Suplementares - Ex. 99
Considere uma doença cuja presença pode ser identificada por um teste sangüíneo. Seja a probabilidade de um indivíduo selecionado aleatoriamente ter a doença. Suponha que indivíduos sejam selecionados independentemente para teste. Uma forma de proceder é fazer um teste separado para cada uma das amostras sangüíneas. Uma abordagem potencialmente mais econômica — teste em grupo — foi apresentada durante a Segunda Guerra Mundial para identificar homens com sífilis entre recrutas do exército. Primeiro, separe parte de cada amostra de sangue, misture-as e faça um único teste. Se ninguém tiver a doença, o resultado será negativo e apenas um teste terá sido necessário. Se ao menos um indivíduo tiver a doença, o teste da amostra misturada resultará positivo e nesse caso serão processados os testes individuais. Se e , qual será o número esperado de testes usando esse procedimento? Qual será o número esperado quando ? [O artigo “Random Multiple Access Communication and Group Testing” (IEEE Trans. on Commun., 1984, p. 769-774) aplicou essas idéias a um sistema de comunicação em que a dicotomia era usuário ativo/ocioso em vez de doente/não-doente.]
Passo 1
Fala galera, beleza? Vamos resolver mais um exercício, vem comigo!
Vamos definir uma variável aleatória que denotará o número de testes realizados.
Para , os possíveis valores de são 1 e 4.
Vamos calcular .
Passo 2
Agora podemos calcular o valor esperado da nossa variável aleatória . Fazendo, chegamos em:
, em contraste com os 3 testes necessários sem testes em grupo