Considere uma doença cuja presença pode ser identificada por um teste sangüíneo. Seja   p a probabilidade de um indivíduo selecionado aleatoriamente ter a doença. Suponha que n   indivíduos sejam selecionados independentemente para teste. Uma forma de proceder é fazer um teste separado para cada uma das n amostras sangüíneas. Uma abordagem potencialmente mais econômica — teste em grupo — foi apresentada durante a Segunda Guerra Mundial para identificar homens com sífilis entre recrutas do exército. Primeiro, separe parte de cada amostra de sangue, misture-as e faça um único teste. Se ninguém tiver a doença, o resultado será negativo e apenas um teste terá sido necessário. Se ao menos um indivíduo tiver a doença, o teste da amostra misturada resultará positivo e nesse caso serão processados os n testes individuais. Se p =   0,1 e n =   3 , qual será o número esperado de testes usando esse procedimento? Qual será o número esperado quando n = 5 ? [O artigo “Random Multiple Access Communication and Group Testing” (IEEE Trans. on Commun., 1984, p. 769-774) aplicou essas idéias a um sistema de comunicação em que a dicotomia era usuário ativo/ocioso em vez de doente/não-doente.]

Passo 1

Fala galera, beleza? Vamos resolver mais um exercício, vem comigo!

Vamos definir uma variável aleatória Y que denotará o número de testes realizados.

Para n = 3 , os possíveis valores de Y são 1 e 4.

Vamos calcular P Y = 1   e   P ( Y = 4 ) .

P Y = 1 = 0.9 3 = 0.729

P Y = 4 = 0.271

Passo 2

Agora podemos calcular o valor esperado da nossa variável aleatória Y . Fazendo, chegamos em:

E Y = 1 0.729 + 4 0.271 = 1.813 , em contraste com os 3 testes necessários sem testes em grupo

Resposta

E Y = 1 0.729 + 4 0.271 = 1.813

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