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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Walpole - Probabilidade e Estatística para Engenharia e Ciências- Ed: 8º - Capítulo 9.Exercícios - Ex. 109

Considere a estatística S p 2 a estimativa de σ 2 . O estimador é discutido na Seção 9.8. Ele é usado quando desejamos assumir que σ 1 2 = σ 2 2 = σ 2 . Mostre que este estimador é não-viciado para σ 2 (isto é, mostre que E S p 2 = σ 2 ). Você pode usar os resultados de qualquer teorema ou exemplo do Capítulo 9.

Passo 1

Falaa, meu querido/minha querida. Nós temos o seguinte valor para a estatística S p 2 :

S p 2 = n 1 - 1 s 1 2 + n 2 - 1 s 2 2 n 1 + n 2 - 2

E nós precisamos mostrar a seguinte relação:

E S p 2 = σ 2

Então, bora para os cálculos!!!

Passo 2

Pela primeira equação definida no Passo 1:

E S p 2 = E n 1 - 1 s 1 2 + n 2 - 1 s 2 2 n 1 + n 2 - 2

= E n 1 - 1 s 1 2 + n 2 - 1 s 2 2 E n 1 + n 2 - 2

= n 1 - 1 E s 1 2 + n 2 - 1 E s 2 2 n 1 + n 2 - 2

Usando o fato de que s 1 2 e s 2 2 são estimadores imparciais para σ 1 2 e σ 2 2 , ou seja, nós podemos fazer a seguinte troca E s 1 2 = σ 1 2 e E s 2 2 = σ 2 2 .

E S p 2 = n 1 - 1 σ 1 2   + n 2 - 1 σ 2 2 n 1 + n 2 - 2

Agora, como o enunciado nos disse para assumirmos que σ 1 2 = σ 2 2 = σ 2 .

E S p 2 = n 1 - 1 σ 2   + n 2 - 1 σ 2 n 1 + n 2 - 2

Colocando o numerador em evidência:

E S p 2 = σ 2 ( n 1 + n 2 - 2 ) n 1 + n 2 - 2

E S p 2 = σ 2

Resposta

Resolução nos passos anteriores.

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