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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Walpole - Probabilidade e Estatística para Engenharia e Ciências- Ed: 8º - Capítulo 4.Exercícios - Ex. 103

Considere o Exercício de revisão 3.75. Ele envolvia Y a proporção de impurezas em um lote, e a sua função de densidade era dada por

f y = 10 1 - y 9 ,                       0 ≤ y ≤ 1 0 ,                                       c a s o   c o n t r á r i o

(a) Determine a porcentagem esperada de impurezas.

(b) Determine o valor esperado da proporção do material de qualidade (ou seja, determine E 1 - Y ).

(c) Determine a variância da variável aleatória Z = 1 - Y .

Passo 1

Falaa, meu querido/minha querida. Para calcularmos o valor esperado de uma variável aleatória contínua, usamos a fórmula a seguir:

E Y = ∫ y y f ( y ) d y

Para o nosso exemplo, esse valor esperado é:

E Y = ∫ 0 1 y 10 1 - y 9 d y

Então, bora para os cálculos!!!

Passo 2

Como definimos no Passo 1, a porcentagem esperada é:

E Y = ∫ 0 1 y 10 1 - y 9 d y

Usando integral por partes:

= - y 1 - y 10 0 1 - ∫ 0 1 - 1 - y 10 d y

= - 1 11 1 - y 11 0 1

= 1 11 1 - 0 11

E Y = 1 11 ≈ 9 %

Passo 3

Usando a linearidade, o valor esperado solicitado é:

E 1 - Y = 1 - E Y = 1 - 1 11 = 10 11

Passo 4

Por fim, para encontrarmos a variância de Z = 1 - Y , antes precisamos encontrar o valor esperado para Z 2 .

E Z 2 = E 1 - Y 2 = ∫ 0 1 1 - y 2 10 1 - y 9 d y

= 10 ∫ 0 1 1 - y 11 d y

= 10 - 1 12 1 - y 12 0 1

= 10 12 - 0 - - 1

E Z 2 = 5 6

Por fim, a variância de Z é dada por:

V a r Z = E Z 2 - E Z 2 = 5 6 - 10 11 2 = 5 726

Resposta

a) E Y = 1 / 11 ≈ 9 %

b) E 1 - Y = 10 / 11 ≈ 91 %

c) V a r Z = 5 / 726

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