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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Magalhães e Lima - Noções de Probabilidade de Estatística - Ed: 6º - Capítulo 5.3 - Ex. 15

Considere a função conjunta.

  1. Calcule P 1 ≤ X ≤ 2 , Y ≥ 1 e P X = 1 , Y > 1 .
  2. Determine E X , E Y e C o v ( X , Y ) .
  3. X e Y são independentes? Justifique.

Passo 1

Teremos em (a) que:

P 1 ≤ X ≤ 2 , Y ≥ 1 = P X = 1 , Y = 1 + P X = 2 , Y = 1 + P X = 1 , Y = 2 + P ( X = 2 , Y = 2 )

Assim, analisando a tabela de dupla entrada:

P 1 ≤ X ≤ 2 , Y ≥ 1 = 1 18 + 1 6 + 1 9 + 1 18 = 7 18

Já para P ( X = 1 , Y > 1 ) , teremos o seguinte:

P X = 1 , Y > 1 = P X = 1 , Y = 2 = 1 9

Passo 2

Em (b), queremos calcular as esperanças das variáveis, além da covariância. Sabemos que a esperança é dada por:

E X = ∑ x ⋅ p x   e   E Y = ∑ y ⋅ p y

Antes de calcular as esperanças, vamos somar as linhas e colunas para descobrir as marginais, assim, chegaremos nas seguintes funções de probabilidade marginais:

Assim,

E X = 0 ⋅ 1 3 + 1 ⋅ 5 18 + 2 ⋅ 7 18 = 19 18

E Y = 0 ⋅ 1 3 + 1 ⋅ 1 3 + 2 ⋅ 1 3 = 1

Passo 3

Para a covariância, teremos a seguinte expressão:

C o v X , Y = E X Y - E X E ( Y )

Já calculamos E X   e   E ( Y ) , então vamos calcular E ( X Y ) , para isso, vamos montar a tabela de XY e sua função de probabilidade, assim:

Daí,

E X Y = 0 + 1 18 + 2 9 + 4 18 = 1 2

Logo, a covariância será:

C o v X , Y = 1 2 - 19 18 = - 5 9

Passo 4

Em (c) queremos saber se X e Y são independentes. Note que:

E X Y = 1 2 ≠ E X E Y = 19 18

Logo, podemos afirmar que as variáveis X e Y não são independentes.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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