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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Jay Devore, Probabilidade e estatística para engenharia e ciências- Ed: 6º - Capítulo 2.Exercícios - Ex. 80

Considere o lançamento independente de dois dados, um verde e um vermelho. Sejam A o evento em que o dado vermelho mostra 3 pontos, B o evento em que o dado verde mostra 4 pontos e C o evento em que o número total de pontos mostrados nos dois dados é 7. Esses eventos são independentes aos pares (ou seja, A e B são eventos independentes, A e C também e B e C também)? Os três eventos são mutuamente independentes?

Passo 1

Salve, fera! Tudo bem? Essa questão pode não ser tão simples. Vamos encará-la juntos?

Usaremos o par ordenado (r,g) onde o primeiro número r representa o número de pontos mostrados nos dados vermelhos e g representa o número de pontos mostrados nos dados verdes. Por exemplo, (1,2) significaria que o dado vermelho mostrou 1 ponto e o verde mostrou 2 pontos.

Usando isso, os eventos A, B e C seriam

A = { ( 3,1 ) ( 3,2 ) ( 3,3 ) ( 3,4 ) ( 3,5 ) ( 3,6 ) } ;

B = { ( 1,4 ) ( 2,4 ) ( 3,4 ) ( 4,4 ) ( 5,4 ) ( 6,4 ) } ;

C =   { ( 1,6 ) ( 2,5 ) ( 3,4 ) ( 4,3 ) ( 5,2 ) ( 6,1 ) } .

Há total de 6 · 6 = 36 números de pares ordenados.

Suponha que podemos selecionar o primeiro elemento de um par ordenado de n1 maneiras, e que para cada elemento selecionado podemos selecionar o segundo elemento de n2 maneiras, então temos o número de pares a ser n1n2.

Portanto,

P A =   n º   d e   r e s u l t a d o s   f a v o r á v e i s   e m   A n º   d e   r e s u l t a d o s   n o   e s p a ç o   a m o s t r a l = 6 36 = 1 6

P B =   n º   d e   r e s u l t a d o s   f a v o r á v e i s   e m   B n º   d e   r e s u l t a d o s   n o   e s p a ç o   a m o s t r a l = 6 36 = 1 6

P C =   n º   d e   r e s u l t a d o s   f a v o r á v e i s   e m   C n º   d e   r e s u l t a d o s   n o   e s p a ç o   a m o s t r a l = 6 36 = 1 6

Devemos determinar se esses eventos são independentes aos pares e se todos os três eventos são mutuamente independentes. Precisamos das seguintes definições e proposições.

Se para dois eventos A e B valem

P(A∣B)=P(A) dizemos que são independentes. Eles são dependentes caso contrário.

Passo 2

Primeiro, observe as seguintes interseções:

A ∩ B = { ( 3,4 ) } ;

A ∩ C = { ( 3,4 ) } ;

B ∩ C = { ( 3,4 ) } ;

A ∩ B ∩ C = { ( 3,4 ) } .

Nós temos que:

P A ∩ B = P A ∩ C = P B ∩ C = P A ∩ B ∩ C = 1 36

O seguinte é verdade:

P A ⋅ P B = 1 6 ⋅ 1 6 = 1 36 =   P ( A ∩ B ) ;

P A ⋅ P C = 1 6 ⋅ 1 6 = 1 36 =   P A ∩ C ;

P B ⋅ P C = 1 6 ⋅ 1 6 = 1 36 =   P ( B ∩ C ) ;

o que significa, usando a regra da multiplicação, que os eventos são independentes aos pares.

No entanto, isso não é suficiente para que todos os três sejam mutuamente independentes. Pela regra da multiplicação (para n eventos), além do que provamos, precisamos provar mais uma coisa para que os três eventos sejam mutuamente independentes.

Veja que

P A ⋅ P B ⋅ P C = 1 6 ⋅ 1 6 ⋅ 1 6 = 1 21 6 ≠ 1 36 = P ( A ∩ B ∩ C )

Por serem desiguais, pela regra de multiplicação para n eventos, temos que os eventos A, B e C não são mutuamente independentes.

Espero ter ajudado! Abraços e até a próxima!

Resposta

Os eventos são independentes aos pares;

Os eventos não são mutuamente independentes.

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