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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Montgomery - Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros- Ed: 4º - Capítulo 14.Exercícios - Ex. 69

Considere um planejamento 2 2 em dois blocos, com A B superposto com blocos. Prove, algebricamente, que S Q A B = S Q B l o c o s .

Passo 1

Bom galera, Considerando o design 2 2 em dois blocos com A B , temos que provar que:

S S A B = S S B l o c o s

O design 2 2 confundido em dois blocos com A B é:

A combinação do design 2 2 é:

Passo 2

Belezinha, os efeitos principais e o efeito de interação são:

A = 1 2 a b + a - b - ( 1 )

B = 1 2 a b + b - a - 1

A B = 1 2 a b + 1 - a - b

Vamos considerar:

X i = a b , a , b , ( 1 )

Y A ' = - 1   1 - 1   1

Y B ' = - 1 - 11   1

Y A B ' = 1 - 1 - 1   1

Com isso, a replicação i e cada tratamento i = 1,2 , … , r é replicado r vezes, se não houver nenhum fator é confundido, então os efeitos fatorais podem ser estimados tomando todas as replicas como:

M E A = 1 2 r ∑ i = 1 r [ X 1 , Y A ' ]

M E B = 1 2 r ∑ i = 1 r [ X 1 , Y B ' ]

M E A B = 1 2 r ∑ i = 1 r [ X 1 , Y A B ' ]

Passo 3

Show de bola, agora a soma dos quadrados devidos a A , B e A B são:

A = ∑ i = 1 r X i , Y A ' 2 4 r

B = ∑ i = 1 r X i , Y B ' 2 4 r

A B = ∑ i = 1 r X i , Y A B ' 2 4 r

E a soma do quadrado devido aos blocos fica:

= ∑ i = 1 r B l o c o - 1 2 2 r + ∑ i = 1 r B l o c o - 2 2 2 r

= ∑ i = 1 r a b + ( b ) 2 2 r + ∑ i = 1 r a + ( 1 ) 2 2 r

= ∑ i = 1 r a b + b - a - 1 2 4 r

= ∑ i = 1 r X i , Y A B ' 2 4 r

Logo, vemos que os dois são iguais.

Resposta

∑ i = 1 r X i , Y A B ' 2 4 r = ∑ i = 1 r X i , Y A B ' 2 4 r

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