Enunciado
Probabilidade e Estatística - Probabilidade, um curso moderno com aplicações, de Sheldon Ross- Ed: 8º - Capítulo 3.Problemas - Ex. 77a
Considere uma sequência interminável de eventos independentes, onde cada tentativa tem a mesma probabilidade de levar a qualquer um dos resultados 1,2 ou 3. Dado que 3 é o último dos resultados a ocorrer, determine a probabilidade condicional de que
a) a primeira tentativa leve ao resultado 1;
Passo 1
Fala galeraaa!
Vamos que vamos!
Eventos:
T - 3 é o último dos três resultados a aparecer;
A - a sequência começa com 1;
B - a sequência começa com 1,1;
Se 3 for o último resultado a aparecer, o primeiro pode ser 1 ou 2 , e esses são igualmente prováveis:
Isso pode ser mais estritamente comprovado pelo método a seguir, usado aqui para $P(B \mid T)$.
Comece com a definição:
Agora para calcular , mostre-os como união de eventos mais simples cuja probabilidade pode ser calculada como a soma de uma sequência geométrica.
Passo 2
Em (a): P(T);
A probabilidade de T acontecer se e somente se um desses eventos ocorrer: a sequência começa com um ou mais resultados 1, depois um resultado 2, ou vice-versa, começa com e depois um 1 . Esses dois são mutuamente exclusivos graças ao primeiro resultado diferente, portanto:
E cada um dos eventos do lado direito é novamente uma união de eventos mutuamente exclusivos, dependendo de quantas repetições do primeiro resultado aparecem antes que o outro resultado ocorra. Usando independência para mostrar a probabilidade de uma interseção como produto de probabilidades, obtemos:
O lado direito é uma sequência geométrica, e é conhecido:
Portanto:
Resposta
.