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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Walpole - Probabilidade e Estatística para Engenharia e Ciências- Ed: 8º - Capítulo 2.Exercícios - Ex. 107

A poluição dos rios nos Estados Unidos é um problema há anos. Considere os seguintes eventos:

A = { O rio é poluído. }

  B = { Uma amostra da água testada detecta poluição. }  

C = { A pesca é permitida . }

Assuma P A = 0,3 , P B A = 0,75 , P B A ' = 0,20 , P C A ∩ B = 0,20 , P C A ' ∩ B = 0,15 , P C A ∩ B ' = 0,80 , e P C A ' ∩ B ' = 0,90 .

(a) Determine P ( A ∩ B ∩ C ) .

(b) Determine P ( B ' ∩ C ) .

(c) Determine P ( C ) .

(d) Determine a probabilidade de o rio ser poluído, dado que a pesca é permitida e a amostra testada não detectou poluição.

Passo 1

Falaa, meu querido/minha querida. Os eventos e as probabilidades foram organizados no enunciado. Então, bora lá resolver a questão!!

Passo 2

Pela regra da probabilidade condicional, temos a seguinte fórmula:

P A ∩ B = P ( A | B ) ∙ P ( B )

Usando a regra da multiplicação.

P A ∩ B ∩ C = P ( A ) ∙ P ( B | A ) ∙ P ( C | A ∩ B )

= ( 0,3 ) ( 0,75 ) ( 0,2 )

P A ∩ B ∩ C = 0,045

Passo 3

Para encontramos a probabilidade da intersecção entre os eventos B ' e C , vamos usar as regras de multiplicação de forma similar da letra (a).

P B ' ∩ C = P B ' ∩ C ∩ A ∪ A '

= P B ' ∩ C ∩ A ∪ B ' ∩ C ∩ A '

= P B ' ∩ C ∩ A + P ( B ' ∩ C ∩ A ' )

= P A ∙ P B ' A ∙ P C A ∩ B ' + P ( A ' ) ∙ P ( B ' | A ' ) ∙ P C A ' ∩ B '

= P A ∙ 1 - P B A ∙ P C A ∩ B ' + 1 - P A ∙ 1 - P B A ' ∙ P C ' A ' ∩ B '

Substituindo os valores do enunciado.

= 0,3 1 - 0,75 0,8 + ( 1 - 0,3 ) ( 1 - 0,2 ) ( 0,9 )

P B ' ∩ C = 0,564

Passo 4

Usando o mesmo método da letra (b), a probabilidade do evento C é:

P C = P C ∩ A ∩ B ∪ A ∩ B ' ∪ A ' ∩ B ∪ A ' ∩ B '

= P C ∩ A ∩ B + P C ∩ A ∩ B ' + P C ∩ A ' ∩ B + P ( C ∩ A ' ∩ B ' )

= 0,045 + 0,06 + 0,021 + 0,504

P C = 0,63

Passo 5

Pelo enunciado, a probabilidade de interesse é a probabilidade do evento A dado que B ' e C aconteceram. Sendo assim, temos:

P A B ' ∩ C = P ( A ∩ B ' ∩ C ) P ( B ' ∩ C ) = 0,06 0,564 = 0,1064

Resposta

a) 0,045

b) 0,564

c) 0,63

d) 0,1064

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