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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Walpole - Probabilidade e Estatística para Engenharia e Ciências- Ed: 8º - Capítulo 7.Exercícios - Ex. 15

Considere que X tenha a distribuição de probabilidade

f(x) = í r ^ ’

J 10, caso contrário.

Determine a distribuição de probabilidade da variável

aleatória Y = X 2.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Seja a X variável aleatória tem a distribuição de probabilidade

f ( x ) = 2 ( x + 1 ) 9 , - 1 < x < 2 0 ,   restante  

Passo 2

Aqui f ( x ) está positivo sobre a integral - 1 < x < 2 e zero em outros lugares.

Considere, a transformação y = x 2

Neste caso, x = ± y para 0 < y < 1 e x = y para 1 < y < 4

Para o intervalo 1 < y < 4 , a distribuição de probabilidade de é Y

g ( y )   = f ( y ) | J |   = 2 ( y + 1 ) 9 × 1 2 y   = y + 1 9 y

Passo 3

No entanto, quando 0 < y < 1 , podemos particionar o intervalo - 1 < y < 1 para obter as duas funções inversas

x 1 = - y , - 1 < x 1 < 0 , and  x 2 = y , 0 < x 2 < 1 , J 1 = d x 1 d y   = - 1 2 y J 2 = d x 2 d y   = 1 2 y

A função densidade de Y seja

g ( y )   = f ( - y ) J 1 + f ( y ) J 2   = 2 ( - y + 1 ) 9 × - 1 2 y + 2 ( y + 1 ) 9 × 1 2 y   = 1 9 y [ 1 - y + 1 + y ]   = 2 9 y

Passo 4

A distribuição de probabilidade de Y para 0 < y < 4 pode agora ser escrita

g ( y ) = 2 9 y , 0 < y < 1 y + 1 9 y , 1 < y < 4 0 ,   restante  

Resposta

Resposta nos passos.

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