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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Jay Devore, Probabilidade e estatística para engenharia e ciências- Ed: 6º - Capítulo 5.Exercícios Suplementares - Ex. 85

Consulte o Exercício 58 e suponha que os X i s sejam independentes com cada um tendo distribuição normal. Qual é a probabilidade de o volume total embarcado ser de no máximo 100.000 pé3?

Passo 1

Falaaa, meu querido/minha querida. Como vai?? A variável aleatória de interesse é a seguinte:

V 0 = 27 X 1 + 125 X 2 + 512 X 3

Antes de encontrarmos a probabilidade, precisamos calcular o valor esperado e o desvio padrão.

O valor esperado é definido por:

E ( V 0 ) = E 27 X 1 + 125 X 2 + 512 X 3 = 27 E X 1 + 125 E X 2 + 512 E ( X 3 )

= 27 ∙ 200 + 125 ∙ 250 + 512 ∙ 100

E ( V 0 ) = 87850

Calculando a variância.

V ( V 0 ) = V 27 X 1 + 125 X 2 + 512 X 3 = 27 2 V X 1 + 125 2 V X 2 + 512 2 V ( X 3 )

= 27 2 ∙ 10 2 + 125 2 ∙ 12 2 + 512 2 ∙ 8 2

V ( V 0 ) = 19100116

Agora, o desvio padrão é a raiz da variância:

σ V 0 = 19100116 = 4370,37

Por fim, podemos calcular a probabilidade pedida pelo enunciado.

P V 0 < 100000 = P V 0 - E ( V 0 ) σ V 0 < 100000 - 87850 4370,37

= P ( Z ≤ 2,78 )

P V 0 < 100000 = 0,9 973

Resposta

P V 0 < 100000 = 0,9973

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