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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Bussab - Estatística Básica- Ed: 9º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 37

Em uma fábrica de parafusos, as máquinas A, B e C produzem 25%, 35% e 40% do total, respectivamente. Da produção de cada máquina 5%, 4% e 2%, respectivamente, são parafusos defeituosos. Escolhe-se ao acaso um parafuso e verifica-se que é defeituoso. Qual a probabilidade de que o parafuso venha da máquina A; da B; e da C?

Passo 1

Vamos começar nomeando os eventos para nos organizarmos melhor:

D → p a r a f u s o s   d e f e i t u o s o s ;

A → p a r a f u s o s   p r o d u z i d o s   n a   m á q u i n a   A

B → p a r a f u s o s   p r o d u z i d o s   n a   m á q u i n a   B

C → p a r a f u s o s   p r o d u z i d o s   n a   m á q u i n a   C

É falado que a máquina A produz 25% dos parafusos, enquanto B e C produzem 35% e 40% respectivamente, logo

P A = 0 , 25 ;   P B = 0,35 ;   P C = 0 , 40

Também é nos dado as probabilidades de parafusos defeitos para cada máquina, que nada mais são as probabilidades condicionais, certo? Elas são:

P D A = 0,0 5 ;   P D B = 0,04 ;   P D C = 0,0 2

Passo 2

Ok! Mas o Problema quer saber qual a probabilidade de que escolhido um parafuso defeituoso, o mesmo venha da máquina A; da B e da C. Ou seja, queremos P A D ; P B D e   P C D , certo?

Primeiro, vamos calcular P D .   Pelo teorema da probabilidade total temos:

P D = P A . P D A + P B . P D B + P C . P ( D | C )

P D = 0 , 25 . 0,0 5 + 0,3 5 . 0,04 + 0 , 4 0 . 0,0 2 = 0,0 345

Passo 3

Pelo Teorema de Bayes, temos

P A D = P D A . P A P ( D ) = 0,05 . 0,25 0,0345 ≅ 0,36

P B D = P D B . P B P ( D ) = 0 , 04 . 0 , 35 0,0345 ≅ 0 , 41

P C D = P D C . P C P ( D ) = 0 , 02 . 0 , 40 0,0345 ≅ 0 , 23

Resposta

P A D ≅ 0,36

P B D ≅ 0,41

P C D ≅ 0,23

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