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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Walpole - Probabilidade e Estatística para Engenharia e Ciências- Ed: 8º - Capítulo 4.Exercícios - Ex. 48

Dada a variável aleatória X , com desvio-padrão σ X , e a variável aleatória Y = a + b X , mostre que, se b < 0 , o coeficiente de correlação ρ X Y = - 1 , e, se b > 0 , ρ X Y = 1 .

Passo 1

Falaa, meu querido/minha querida. A fórmula para a covariância é:

C o v X , Y = E X Y - E ( X ) E ( Y )

E o coeficiente de correlação é dada por:

ρ X , Y = C o v ( X ,   Y ) σ X σ Y

E para a correlação nos temos a seguinte propriedade:

C o r r a X + b ,   c Y + d = C o r r ( X , Y )

Então, bora para os cálculos!!!

Passo 2

Usando a notação do enunciado, para Y = a + b X , nós temos:

C o v X , Y = C o v X ,   b X + a = C o v X ,   b X = V b X = b 2 V X = b 2 σ X 2

Por outro lado,

σ Y 2 = V Y = V b X + a = b 2 V X = b 2 σ X 2

Sendo assim, o coeficiente de correlação de X e Y é:

ρ X ,   Y = C o v ( X , Y ) σ X σ Y = b 2 σ X 2 σ X 2 ∙ b 2 σ X 2 = b b

Portanto, se b < 0 o coeficiente de correlação é:

ρ X ,   Y = b b = - 1

E se b > 0 o coeficiente de correlação é:

ρ X ,   Y = b b = 1

Resposta

Resolução no passo anterior.

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