Enunciado

Deduza a função densidade de probabilidade de uma variável aleatória lognormal a partir da derivada da função de distribuição cumulativa.

Passo 1

Seja X a variável lognormal com os parâmetros θ e ω 2 . Lembre-se da fórmula para a função de distribuição cumulativa

F ( x ) = Φ ( l n x - θ ω )

Vamos denotar a função de distribuição de probabilidade da variável aleatória normal padrão com ϕ , que é:

𝜙 ( x ) = 1 2 π e - x 2 / 2

As funções ϕ e Φ estão relacionadas por:

𝜙 ( x ) = d 𝜙 ( x ) d x

Passo 2

Agora, vamos encontrar a função de distribuição de probabilidade de X diferenciando a equação de F da seguinte forma (regra da cadeia):

f ( x ) = d F ( x ) d x = d d x ( 𝜙 ( l n x - θ ω ) ) = d 𝜙 d x = 𝜙 ( l n x - θ ω ) d d x ( l n x - θ ω ) = 𝜙 ( l n x - θ ω ) 1 x ω = 1 x ω 2 π e - ( l n x - θ ) 2 / 2 ω 2

Resposta

Use a regra da cadeia para derivadas e a relação da função de distribuição cumulativa e função de distribuição de probabilidade para derivar a expressão para a função de densidade.

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