Demonstre ou dê um contraexemplo para as três afirmativas a seguir:

(a) Se E é independente de F, e E é independente de G, então E é independente de F ∪ G .

(b) Se E é independente de F, E é independente de G, e F G   =   ∅ , então E é independente de F ∪ G .

(c) Se E é independente de F, F é independente de G e E é independente de FG, então G é independente de EF.

Passo 1

Faaala pessoal do responde aí?! Tudo tranquilo? Vamos com calma nessa aqui, temos que pensar um pouco.

a) Vamos tentar fazer esse usando um contra exemplo:

Se

E = { s o m a   7 }

F = { n ã o   a p a r e c e   u m   4   n o   1 °   d a d o }

G = { n ã o   a p a r e c e   u m   3   n o   2 °   d a d o }

vamos agora calcular a probabilidade condicional que o item pediu

P E F ∪ G = P { 7 ,   n ã o ( 4,3 ) } P { n ã o   ( 4,3 ) } = 5 / 36 35 / 36 = 5 35 ≠ P ( E )

FALSO

Passo 2

b) P E F ∪ G = P E F ∪ E G = P E F + P E G

Mas o problema nos informou que P E ∩ F ∩ G = 0

P E F ∪ G = P E P F + P G

E como P F ∩ P G = 0

P E F ∪ G = P E P F ∪ G

O produto encontrado mostra que a sentença é VERDADEIRA.

Passo 3

b) Vamos tentar chegar em uma verdade, partindo das condições do problema e supondo-as verdadeiras.

P G E ∩ F = P E ∩ G ∪ F P ( E ∩ F ) = P E . P F . P ( G ) P E . P ( F ) = P G

A sentença é VERDADEIRA!

Resposta

demonstração

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