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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Jay Devore, Probabilidade e estatística para engenharia e ciências- Ed: 6º - Capítulo 3.Exercícios - Ex. 54

Um grande lote de componentes chegou em um distribuidor e só pode ser classificado como aceitável se a proporção de componentes com defeito for no máximo 0,10. O distribuidor decide selecionar 10 componentes aleatoriamente e aceitar o lote apenas se o número de componentes defeituosos da amostra for no máximo 2.

a. Qual é a probabilidade de o lote ser aceito quando a proporção real de itens com defeito for 0,01? 0,05? 0,10? 0,20? 0,25?

b. Seja p a proporção real de itens com defeito no lote. Um gráfico de P(lote é aceito) em função de p, com p no eixo horizontal e P(lote é aceito) no eixo vertical é denominado curva característica de operação do plano de aceitação da amostragem. Use os resultados da parte (a) para fazer o gráfico da curva para 0     ≤ p   ≤ 1 .

c. Repita as partes (a) e (b) com “1” substituindo “2” no plano de aceitação da amostragem.

d. Repita as partes (a) e (b) com “15” substituindo “10” no plano de aceitação da amostragem. e. Qual dos três planos de amostragem é mais satisfatório e por quê?

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Denote com pp a proporção (real) de componentes defeituosos. E deixar

X = n ú m e r o   d e   c o m p o n e n t e s   d e f e i t u o s o s   n a   a m o s t r a .

No nosso caso, n=10n=10 e pp é a proporção real, o que significa que X pode distribuição binomial

X   ~ B i n 10 , p  

Passo 2

  1. Dependendo dos valores de pp, a probabilidade de aceitação será diferente. Denotar evento

    2. A = o   l o t e   é   a c e i t o .

    Nos é dado que o lote será aceito se no máximo 2 de 10 forem defeituosos, portanto, a fórmula geral para pp seria

    P A = P   X   ≤ 2 = B 2 ; 10 , p =   ∑ y = 0 2 b ( y ; 10 , p )

    Função de densidade cumulativa cdf da variável aleatória binomial X com parâmetros n e p é

    B x ; n ,   p = P X   ≤ x =   ∑ y = 0 x b y y ; n , p ,   x = 0,1 , … , n

    Para diferentes pp, obteremos resultados diferentes. Podemos concluir que P(A) é na verdade uma função de p.

    Para p = 0.01 , o seguinte é verdade

    P A = P X   ≤ 2 = B 2 ; 10 ,   0.01 =   ∑ y = 0 2 b y ; 10,0.01 = 0.99988 ;

    Para p = 0.05 , o seguinte é verdade

    P A = P X   ≤ 2 = B 2 ; 10 ,   0.05 =   ∑ y = 0 2 b y ; 10,0.05 = 0.9885 ;

    Para p = 0.1 , o seguinte é verdade

    P A = P X   ≤ 2 = B 2 ; 10 ,   0.01 =   ∑ y = 0 2 b y ; 10,0.01 = 0.92981 ;

    Para p = 0.2 , o seguinte é verdade

    P A = P X   ≤ 2 = B 2 ; 10 ,   0.2 =   ∑ y = 0 2 b y ; 10,0.2 = 0.6778 ;

    Para p = 0.25 , o seguinte é verdade

    P A = P X   ≤ 2 = B 2 ; 10 ,   0.25 =   ∑ y = 0 2 b y ; 10,0.25 = 0.52559 ;

    P A =   0.99988 ,   p = 0.01 0.9885 ,   p = 0.05 0.92981 ,   p =     0.1 0.6778 ,   p = 0.2 0.52559 ,   p = 0.25

  2. Como mencionamos, P(A) é uma função de p

    3. P A = B 2 ; 10 ,   p =   ∑ y = 0 2 b ( y ; 10 , p )

    A curva característica de operação exata é fornecida abaixo.

  3. Substituindo "2" por "1", temos o seguinte:

    4. Para p = 0.01 , o seguinte é verdade

    P A = P X   ≤ 1 = B 1 ; 10 ,   0.01 =   ∑ y = 0 1 b y ; 10,0.01 = 0.99573 ;

    Para p = 0.05 , o seguinte é verdade

    P A = P X   ≤ 1 = B 1 ; 10 ,   0.05 =   ∑ y = 0 1 b y ; 10,0.05 = 0.91386 ;

    Para p = 0.1 , o seguinte é verdade

    P A = P X   ≤ 1 = B 2 ; 10 ,   0.1 =   ∑ y = 0 1 b y ; 10,0.1 = 0.7361 ;

    Para p = 0.2 , o seguinte é verdade

    P A = P X   ≤ 1 = B 1 ; 10 ,   0.2 =   ∑ y = 0 1 b y ; 10,0.2 = 0.37581 ;

    Para p = 0.25 , o seguinte é verdade

    P A = P X   ≤ 1 = B 1 ; 10 ,   0.25 =   ∑ y = 0 1 b y ; 10,0.25 = 0.24403 ;

    P A =   0.99573 ,   p = 0.01 0.91386 ,   p = 0.05 0.7361 ,   p =     0.1 0.37581 ,   p = 0.2 0.24403 ,   p = 0.25

    E a figura a seguir é curva característica operacional para este caso.

    Passo 3

  4. Da mesma forma que acima, substitua 10 por 15, temos:

    5. Para p=0.01, o seguinte é verdadeiro

    Para p = 0.01 , o seguinte é verdade

    P A = P X   ≤ 2 = B 2 ; 15 ,   0.01 =   ∑ y = 0 2 b y ; 15,0.01 = 0.99958 ;

    Para p = 0.05 , o seguinte é verdade

    P A = P X   ≤ 2 = B 2 ; 15 ,   0.05 =   ∑ y = 0 2 b y ; 15,0.05 = 0.96380 ;

    Para p = 0.1 , o seguinte é verdade

    P A = P X   ≤ 2 = B 2 ; 15 ,   0.01 =   ∑ y = 0 2 b y ; 15,0.01 = 0.81594 ;

    Para p = 0.2 , o seguinte é verdade

    P A = P X   ≤ 2 = B 2 ; 15 ,   0.2 =   ∑ y = 0 2 b y ; 15,0.2 = 0.39802 ;

    Para p = 0.25 , o seguinte é verdade

    P A = P X   ≤ 2 = B 2 ; 15 ,   0.25 =   ∑ y = 0 2 b y ; 15,0.25 = 0.23609 ;

    P A =   0.99 958 ,   p = 0.01 0.9 6380 ,   p = 0.05 0 . 81594 ,   p =     0.1 0.3 9802 ,   p = 0.2 0.2 3609 ,   p = 0.25

    E a figura a seguir é curva característica operacional para este caso.

  5. No exercício, podemos ver quando o lote é aceitável (quando pp é no máximo 0,1), é por isso que olhamos as figuras para ver quando P(A) é alto para p≤0,1 (e baixo para p>0.1). Podemos ver que o plano da parte (d) talvez seja o melhor, então escolheríamos esse plano. É o mais satisfatório.

Alguém pode escolher o plano para a parte (a) também, mas certamente parece que a parte (d) é a melhor das três dadas

Resposta

  1. P A =   0.99 988 ,   p = 0.01 0.9 885 ,   p = 0.05 0 . 92981 ,   p =     0.1 0 . 6778 ,   p = 0.2 0 . 52559 ,   p = 0.25
  2. Ver o desenvolvimento
  3. P A =   0.9 9573 ,   p = 0.01 0.9 1386 ,   p = 0.05 0 . 7361 ,   p =     0.1 0.3 77581 ,   p = 0.2 0 . 24403 ,   p = 0.25
  4. P A =   0.99958 ,   p = 0.01 0.96380 ,   p = 0.05 0.81594 ,   p =     0.1 0.39802 ,   p = 0.2 0.23609 ,   p = 0.25
  5. Plano da parte d

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