Se X ~ N μ , σ 2 , com densidade f x dada por ( 7.17 ) , provemos que a integral I = ∫ - ∞ ∞ f x d x = 1 .

Passo 1

Como esta integral é sempre positiva, mostremos que I 2 = 1 . Novamente, como no Problema 32 , fazemos a transformação x = μ + σ × t e obtemos I 2 = 1 2 π × ∬ e - t 2 + s 2 2 d s d t ,   onde os limites de integração são - ∞ e ∞ . Agora fazemos outra transformação, passando de coordenadas cartesianas para polares: s = r × c o s θ ,   t = r × s e n θ , de modo que d s d t = r × d r d θ . Segue-se, integrando primeiro com relação a r   e depois com relação a θ , que:

I 2 = 1 2 π × ∫ 0 2 π ∫ 0 ∞ e - r 2 2 × r   d r d θ = 1 2 π × ∫ 0 2 π - e - r 2 2 0 ∞ d θ = 1 2 π × ∫ 0 2 π d θ = 1 .    

Resposta

Logo,

I 2 = 1 2 π × ∫ 0 2 π ∫ 0 ∞ e - r 2 2 × r   d r d θ = 1 2 π × ∫ 0 2 π - e - r 2 2 0 ∞ d θ = 1 2 π × ∫ 0 2 π d θ = 1 .    

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