Distribuição de Pascal. Considere a mesma situação experimental do Problema 55 , só que agora o experimento é continuado até que o evento A ocorra pela r-ésima vez. Defina a v.a. Y= número de repetições necessárias para que A ocorra exatamente r vezes. Note que, se r=1 , obtemos a distribuição geométrica. Mostre que: P Y = j = j - 1 r - 1 × p r × q j - r ,j = r ,r + 1 ,…

Como em um total de j lançamentos, obtemos r eventos A C e j - r eventos A , e temosj - 1 r - 1 possibilidades, a probabilidade é dada por: P Y = j = j - 1 r - 1 × p r × 1 - p j - r ,j = r ,r + 1 ,⋯ , Como queríamos demonstrar.

Enunciado

Probabilidade e Estatística - Bussab - Estatística Básica- Ed: 6º - Capítulo 6.Problemas - Ex. 57

Distribuição de Pascal. Considere a mesma situação experimental do Problema , só que agora o experimento é continuado até que o evento ocorra pela r-ésima vez. Defina a v.a. número de repetições necessárias para que A ocorra exatamente vezes. Note que, se , obtemos a distribuição geométrica. Mostre que:

Passo 1

Vamos começar notando que , se e somente se, no ésimo experimento ocorra o evento e nos experimentos anteriores, obtemos eventos (ou seja, não ocorra o evento ).

O número de formas de acontecer isso é simples: escolher resultados para o evento , entre resultados possíveis, ou seja, temos possibilidades.

Resposta

Como em um total de lançamentos, obtemos eventos e eventos , e temos possibilidades, a probabilidade é dada por:

Como queríamos demonstrar.

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