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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Walpole - Probabilidade e Estatística para Engenharia e Ciências- Ed: 8º - Capítulo 3.Exercícios - Ex. 70

Considere a seguinte função de densidade de probabilidade conjunta para as variáveis aleatórias X e Y :

f x ,   y = 3 x - y 9                                   1 < x < 3 ,   1 < y < 2 0 ,                                                                             c a s o   c o n t r á r i o

(a) Determine as funções de densidade marginais de X e Y

(b) X e Y são independentes?

(c) Determine P X > 2 .

Passo 1

Falaa, meu querido/minha querida. Lembrando que para definirmos a distribuição marginal da variável X , usamos a fórmula abaixo:

g x = ∫ y f ( x ,   y ) d y

E para a variável Y :

h y = ∫ x f ( x ,   y ) d x

Agora, para que duas variáveis sejam independentes, a relação abaixo deve ser respeitada:

f x ,   y = g x h ( y )

Então, bora para os cálculos!!

Passo 2

Encontrando a distribuição marginal de X :

g x = ∫ y f ( x ,   y ) d y

= ∫ 1 2 3 x - y 9 d y

= 3 x y 9 - y 2 18 1 2

= 3 x 2 9 - 2 2 18 - 3 x 1 9 - 1 2 18

g ( x ) = x 3 - 1 6

Calculando a distribuição marginal de Y :

h y = ∫ x f ( x ,   y ) d x

= ∫ 1 3 3 x - y 9 d x

= 3 x 2 18 - x y 9 1 3

= 3 3 2 18 - 3 y 9 - 3 1 2 18 - y 9

h ( y ) = 4 3 - 2 y 9

Passo 3

Agora, vamos verificar se as variáveis são independentes:

g x h y = x 3 - 1 6 4 3 - 2 y 9 = ( 2 x - 1 ) ( 6 - y ) 27

E a função de densidade de probabilidade é:

f x , y = 3 x - y 9

Como as funções não são iguais, as variáveis não são independentes.

Passo 4

Por fim, calculando a probabilidade que o enunciado nos pediu, primeiro podemos observar que P X > 2 = P ( 2 < X < 3 ,   1 < Y < 2 ) . Portanto, temos:

P 2 < X < 3 ,   1 < Y < 2 = ∫ 2 3 ∫ 1 2 3 x - y 9 d y d x

= ∫ 2 3 x y 3 - y 2 18 1 2 d x

= ∫ 2 3 2 x 3 - 2 2 18 - x 3 + 1 18 d x

= ∫ 2 3 2 x - 1 6 d x

= x 2 6 - x 6 2 3

= 3 2 6 - 3 6 - 2 2 6 - 2 6

P 2 < X < 3 ,   1 < Y < 2 = 2 3

Resposta

Resolução nos passos anteriores.

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