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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Walpole - Probabilidade e Estatística para Engenharia e Ciências- Ed: 8º - Capítulo 3.Exercícios - Ex. 59

Considere X , Y e Z com a seguinte função de densidade de probabilidade conjunta

f x ,   y = k x y 2 z ,               0 < x ,         y < 1 ,           0 < z < 2 0 ,                                                                               c a s o   c o n t r á r i o

(a) Determine k .

(b) Determine P ( X < 1 4 ,     Y > 1 2 ,     1 < Z < 2 ) .

Passo 1

Falaa, meu querido/minha querida. Para encontramos o valor de k , vamos usar a fórmula abaixo:

∫ x ∫ y ∫ z f ( x ,   y ,   z ) d z d y d x = 1

Essa fórmula quer dizer, que a função de densidade de probabilidade conjunta integrada em todo o período válido das 3 variáveis resulta em 1.

Então, bora realizar a questão!!!

Passo 2

Integrando a função de densidade de probabilidade conjunta para encontrar k :

1 = ∫ x ∫ y ∫ z f ( x ,   y ,   z ) d z d y d x

= ∫ 0 1 ∫ 0 1 ∫ 0 2 ( k x y 2 z ) d z d y d x

= k ∫ 0 1 ∫ 0 1 x y 2 z 2 2 0 2 d y d x

= k ∫ 0 1 ∫ 0 1 2 x y 2 d y d x

= k ∫ 0 1 2 x y 3 3 0 1 d x

= k ∫ 0 1 2 3 x d x

= k 1 3 x 2 0 1

1 = 1 3 k

k = 3

Sendo assim, podemos concluir que para a função de densidade de probabilidade conjunta ser válida, k deve ser igual a 3 .

Passo 3

O enunciado nos deu os intervalos de cada variável, então basta integrarmos nos mesmos para encontrar a probabilidade.

P X < 1 4 ,   Y > 1 2 ,   1 < Z < 2 = P 0 < X < 1 4 , 1 2 < Y < 1 ,   1 < Z < 2

= ∫ 0 1 / 4 ∫ 1 / 2 1 ∫ 1 2 f ( x ,   y ,   z ) d z d y d x

= ∫ 0 1 / 4 ∫ 1 / 2 1 ∫ 1 2 ( 3 x y 2 z ) d z d y d x

= 3 ∫ 0 1 / 4 ∫ 1 / 2 1 x y 2 z 2 2 1 2 d y d x

= 3 ∫ 0 1 / 4 ∫ 1 / 2 1 2 x y 2 - x y 2 2 d y d x

= 9 2 ∫ 0 1 / 4 ∫ 1 / 2 1 x y 2 d y d x

= 9 2 ∫ 0 1 / 4 x y 3 3 1 / 2 1 d x

= 9 2 ∫ 0 1 / 4 x 3 - x 24 d x

= 9 2 ∫ 0 1 / 4 7 x 24 d x

= 63 48 x 2 2 0 1 / 4

= 21 16 1 32

P X < 1 4 ,   Y > 1 2 ,   1 < Z < 2 = 21 512

Resposta

(a) k = 3

(b) 21 / 512

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