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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Walpole - Probabilidade e Estatística para Engenharia e Ciências- Ed: 8º - Capítulo 3.Exercícios - Ex. 63

Uma empresa de tabaco produz misturas com diversas proporções de tabaco turco, doméstico e outros. A proporção de tabaco turco e doméstico em uma mistura são as variáveis aleatórias com função de densidade conjunta ( X   = turco e Y = doméstico).

f x ,   y ,   z = 24 x y ,             0 ≤ x ,   y ≤ 1 ;     x + y ≤ 1 0 ,                                                               c a s o   c o n t r á r i o

Determine

(a) Determine a probabilidade de que, em uma caixa, o tabaco turco seja responsável por mais da metade da mistura.

(b) Determine a função de densidade marginal para a proporção de tabaco doméstico.

(c) Determine a probabilidade de que a proporção de tabaco turco seja menor que 1/8, sabendo-se que a mistura contém 3/4 de tabaco doméstico.

Passo 1

Falaa, meu querido/minha querida. A densidade marginal é calculada com a seguinte fórmula:

h y = ∫ x f ( x ,   y ) d x

E as probabilidades, como já vimos anteriormente, precisamos integrar nos intervalos pedidos pelo enunciado. Pois, se tratam de variáveis aleatórias contínuas.

Então, bora realizar a questão!!!

Passo 2

Se o tabaco turco representa mais da metade da mistura, então o evento que estamos nos referindo é x > 1 / 2 , portanto:

P X > 1 2 = P 1 2 < X ≤ 1

= ∫ 1 / 2 1 ∫ 0 1 f ( x ,   y ) d y d x

= ∫ 1 / 2 1 ∫ 0 1 - x 24 x y d y d x

= ∫ 1 / 2 1 24 x y 2 2 0 1 - x d x

= ∫ 1 / 2 1 12 x 1 - x 2 d x

= 12 ∫ 1 / 2 1 x - 2 x 2 + x 3 d x

= 12 x 2 2 - 2 x 3 3 + x 4 4 1 / 2 1

= 12 1 2 - 2 3 + 1 4 - 1 8 - 1 12 + 1 64

P X > 1 2 = 5 16

Passo 3

Como vimos no Passo 1, para calcularmos a função de densidade marginal temos a seguinte fórmula:

h y = ∫ x f ( x ,   y ) d x

= ∫ 0 1 - y 24 x y d x

= 24 x 2 y 2 0 1 - y

= 12 y 1 - y 2 - 0 2

                                                          h ( y ) = 12 y 1 - y 2                       0 ≤ y ≤ 1

Passo 4

Por fim, para encontrarmos última probabilidade, é necessário usarmos a fórmula da distribuição condicional:

P X = x Y = y = f x y = f ( x ,   y ) h ( y )

Para o nosso exemplo, temos o seguinte:

P X < 1 8 Y = 3 4 = ∫ 0 1 / 8 f x 3 4 d x

= ∫ 0 1 / 8 f x , 3 4 h 3 4 d x

Aqui, nós vamos usar a fórmula que calculamos na letra (a).

= ∫ 0 1 / 8 24 x 3 4 12 3 4 1 - 3 4 2 d x

= ∫ 0 1 / 8 32 x d x

= 32 x 2 2 0 1 / 8

= 16 1 8 2 - 16 ( 0 ) 2

P X < 1 8 Y = 3 4 = 1 4

Resposta

Resolução nos passos anteriores.

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