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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Walpole - Probabilidade e Estatística para Engenharia e Ciências- Ed: 8º - Capítulo 3.Exercícios - Ex. 65

Dois componentes eletrônicos do sistema de um míssil funcionam em harmonia para o sucesso total do sistema. Considere   X e Y a vida, em horas, dos dois componentes. A densidade conjunta de X e Y é

f x , y = y e - y ( 1 + x ) ,               x ,   y ≥ 0 0 ,                   c a s o   c o n t r á r i o

(a) Dê as funções de densidade marginais para as duas variáveis aleatórias.

(b) Qual é a probabilidade de que as vidas de ambos os componentes excedam duas horas?

Passo 1

Falaa, meu querido/minha querida. Lembrando que para definirmos a distribuição marginal da variável X , usamos a fórmula abaixo:

g x = ∫ y f ( x ,   y ) d y

E para a variável Y :

h y = ∫ x f ( x ,   y ) d x

Então, bora realizar a questão!!!

Passo 2

Definindo a distribuição marginal de X :

g x = ∫ y f ( x ,   y ) d y

= ∫ 0 ∞ y e - y ( 1 + x ) d y

Usando integral por partes:

= y - e - y 1 + x 1 + x 0 ∞ - ∫ 0 ∞ - e - y ( 1 + x ) 1 + x d y

Qualquer número elevado a - ∞ é igual a zero:

= 0 - 1 1 + x 2 e - y 1 + x 0 ∞

= - e - ∞ - e - 0 1 + x 2

                            g x = 1 1 + x 2                 x ≥ 0

Calculando a distribuição marginal para Y :

h y = ∫ x f ( x ,   y ) d x

= ∫ 0 ∞ y e - y ( 1 + x ) d x

= - e - y 1 + x 1 0 ∞

= - e - ∞ + e - y

                          h y = e - y                   y ≥ 0

Passo 3

Por fim, podemos calcular a probabilidade solicitada:

P X > 2 ,   Y > 2 = ∫ 2 ∞ ∫ 2 ∞ y e - y ( 1 + x ) d x d y

= ∫ 2 ∞ - e - y 1 + x 1 2 ∞ d y

= ∫ 2 ∞ e - 3 y d y

= - e - 3 y 3 2 ∞

P X > 2 ,   Y > 2 = e - 6 y 3

Resposta

Resolução nos passos anteriores.

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