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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Probabilidade Um Curso Introdutório - Dantas- Ed: 3º - Capítulo 6.Exercícios - Ex. 35

Suponha que a densidade conjunta de X   e   Y é dada por: f x , y = e - y y ,   0 < x < y     e     y ≥ 0 , f x , y = 0 caso contrário.

a) calcule E X Y = y ;

b) determine C o v X , Y .

Passo 1

Falaaaaa rapaziada tudo blz?

Nessa questão do livro de probabilidade do Dantas ele pede para supor que a densidade conjunta de X   e   Y é dada por: f x , y = e - y y ,   0 < x < y     e     y ≥ 0 , f x , y = 0 caso contrário.

a) calcule E X Y = y ;

b) determine C o v X , Y .

Precisa ficar assim não meus abençoados conforme você for vendo os passos vai perceber que ela é de boa.

Passo 2

Então galerinha vamos supor que a densidade x   e   y seja representada por,

f x , y = e - y y ,   0 < x < y     e     y ≥ 0 , f x , y = 0

Devemos nos lembrar das variáveis N-dimensionais que e determinada por,

f x 1 , x 2 , … , x n = f x 1 x 1   f x 2 x 2 … f x n ( x n )

Sendo na letra (a) para,

f E x y = y = y 1 , y 2 , … , y n

Ficando seu conjunto determinado por,

f E x y = y = ∫ 0 1 f y y d y

Já na letra (b) para encontrar C o v   ( x , y ) temos

C o v   x , y = σ 1 σ 2 2 π 1 - p 2 ∫ - ∞ ∞ u v exp ⁡ - 1 2 1 - p 2 u - p v 2 + v 2 1 - p 2 d u d v

Ficando,

C o v   x , y = σ 1 σ 2 v 2 π e - v 2 2 [ ∫ - ∞ ∞ 1 2 π   1 - ´ p 2 μ exp ⁡ - 1 2 1 - p 2 μ - p v 2 d u ]   d v

Logo,

c o v   x , y = p σ 1 σ 2   ∫ - ∞ ∞ 1 2 π v 2 e - v 2 2 d v

Espero que eu tenha ajudado e te vejo no próximo desafio.

Até a próxima.

Resposta

a) f E x y = y = ∫ 0 1 f y y d y

b) c o v   x , y = p σ 1 σ 2   ∫ - ∞ ∞ 1 2 π v 2 e - v 2 2 d v

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