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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Probabilidade Um Curso Introdutório - Dantas- Ed: 3º - Capítulo 6.Exercícios - Ex. 38

Seja W uma variável aleatória com distribuição gama com parâmetros α   e   β . Admita que, condicional a W = w ,     X 1 , … , X N são variáveis aleatórias independentes com distribuição exponencial de parâmetro w . Mostre que a distribuição condicional de W dado que X 1 = x 1 , … X n = x n é gama com parâmetros α + n   e   β + ∑ i = 1 n x i .

Passo 1

Falaaaaa rapaziada tudo blz?

Nessa questão do livro de probabilidade do Dantas Seja W uma variável aleatória com distribuição gama com parâmetros α   e   β . Admita que, condicional a W = w ,     X 1 , … , X N são variáveis aleatórias independentes com distribuição exponencial de parâmetro w . Mostre que a distribuição condicional de W dado que X 1 = x 1 , … X n = x n é gama com parâmetros α + n   e   β + ∑ i = 1 n x i .

Precisa ficar assim não meus abençoados conforme você for vendo os passos vai perceber que ela é de boa.

Passo 2

Então rapaziada para mostrar que a distribuição condicional W é definida por,

α + n   e   β + ∑ i = 1 n x i , com X 1 = x 1 , … X n = x n

Devemos entender que,

x 1 = g 1 - 1 y 1 , y 2         e         x 2 = g 2 - 1 ( y 1 , y 2 )

Ficando sua representação como,

∫ ∫ g - 1 ( A ) f x x 1 , x 2 d x 1 d x 2 = ∫ ∫ A f x g 1 - 1 y 1 , y 2 , g 2 - 1 y 1 , y 2   J g - 1 y 1 , y 2 d y 1   d y 2  

Sendo definida a probabilidade temos,

f x y 1 , y 2 = f x ( g 1 - 1 g 1 - 1 y 1 , y 2 , g 2 - 1 y 1 , y 2   J g - 1 y 1 , y 2

Logo,

f x y x , y pode ser definida por,

f x y x , y = 1 2 π exp ⁡ x 2 + y 2 2

Espero que eu tenha ajudado e te vejo no próximo desafio.

Até a próxima.

Resposta

f x y x , y = 1 2 π exp ⁡ x 2 + y 2 2

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