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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Probabilidade Um Curso Introdutório - Dantas- Ed: 3º - Capítulo 6.Exercícios - Ex. 29

Suponha que n variáveis X 1 , … … , X n formam uma amostra aleatória de uma distribuição contínua para a qual a função densidade de probabilidade é f e a função de distribuição é F . Sejam X ( 1 ) , … … ,   X n as estatísticas de ordem dessa amostra, determine:

a) a densidade conjunta de X ( 1 )   e     X ( n ) ;

b) a densidade de A = X ( n ) - X ( 1 ) .

Passo 1

Falaaaaa rapaziada tudo blz?

Nessa questão do livro de probabilidade do Dantas Suponha que n variáveis X 1 , … … , X n formam uma amostra aleatória de uma distribuição contínua para a qual a função densidade de probabilidade é f e a função de distribuição é F . Sejam X ( 1 ) , … … ,   X n as estatísticas de ordem dessa amostra, determine:

a) a densidade conjunta de X ( 1 )   e     X ( n ) ;

b) a densidade de A = X ( n ) - X ( 1 ) .

Precisa ficar assim não meus abençoados conforme você for vendo os passos vai perceber que ela é de boa.

Passo 2

Então galerinha tendo em mente que para um valor qualquer de n ele tenha variáveis X 1 , … … , X n com X ( 1 ) , … … ,   X n estatísticas de ordem de amostra vamos ter que,

Na letra (a) para determinar a densidade conjunta de X ( 1 )   e     X ( n ) temos que,

P X 1 , X 2 , … , X n ∈ β ] = ∫ β F x 1 , x 2 , … x n   d x 1 d x 2

Podendo se obter a densidade conjunta do material por,

F x = ∫ - ∞ ∞ F ( X 1 , X 2 , … , X n )

Ficando,

F X 1 , F X 2 , … , X n ( X 1 , X 2 , … , X n )

Como x 1 , x 2 , … , x n ∈ R n , logo

F X 1 , F X 2 , … , X n X 1 , X 2 , … , X n = P X 1 ≤ x 1 ,   X 2 ≤ x 2 ,   … ,   X n ≤ x n

Já na letra (b) para determinar a densidade de,

A = X ( n ) - X ( 1 )

Temos,

F x n = 1 b - a ,     F x 1 = 1 b - a

Ficando sua densidade representada por,

f x = ∫ a b 1 b - a 2   d x

Espero que eu tenha ajudado e te vejo no próximo desafio.

Até a próxima.

Resposta

a) P X 1 ≤ x 1 ,   X 2 ≤ x 2 ,   … ,   X n ≤ x n

b) f x = ∫ a b 1 b - a 2   d x

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